1.已知集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.下列说法中正确的是（ ）

A.若
为真命题，则
均为真命题

B.命题“
”的否命题“
”

C.“
”是“
”成立的充要条件

D.在
中，“
”是“
”的必要不充分条件

3.曲线
在
处的切线方程是 （ ）

A.
B.
C.
D.

4.已知函数
的零点分别为
，则它们的大小关系为（ ）

A.
B.
C.
D.

5.为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像 （ ）

A. 向右平移
个单位 B. 向左平移
个单位

C. 向右平移
个单位 D. 向左平移
个单位

6.已知对数函数
是增函数，则函数
的图像大致是 （ ）

8.已知双曲线
的两条渐近线均与圆
相切，则该双曲线的离心率等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

9.若函数
满足
，且
时
,函数

，则函数
在区间
内的零点的个数为（ ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 13

10.设点
在
所在的平面内，且
，那么动点
的轨迹必经过
的 （ ）

A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心

11.若
在
上是减函数，则
的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

12.抛物线
的焦点为，点为抛物线上的动点，又点
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）

13. 已知矩形
的顶点都在半径为4的球
的球面上，且
,则棱锥
的体积为 .

14.设
为第二象限角，若
，则
.

15. 已知
，
满足的约束条件是
，若
的最小值为1，

则
.

16.等差数列
的前项和为
，且
，则
的最小值为 .

三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤。）

17. 在锐角
中, 内角、、
所对的边分别为、
、

，且
．

（1）求角的大小；（2）若
，求
的面积
的最大值．

18. 已知正项数列
满足
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前项和
。

19. 如图：在几何体
中，四边形
为菱形，
，

，且
均垂直于

平面
，
，
分别为
的中点。

（1）证明：
是异面直线
的公垂线；

（2）求二面角
的平面角的余弦值。

20. 设向量
，
，点
为动点，已知
。

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹与轴的负半轴交于点，过点
的直线交点的轨迹于
两点，试推断
的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值，若不存在，请说明理由。

21. 已知函数
。

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求切线方程；

（2）讨论
的单调性；

（3）当
,且
时,证明
。

22. 设函数
。

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若函数
的定义域为，求实数的取值范围。

宁大附中2013-2014学年第一学期期末考试

高三数学（理）试题解答

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5 分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

A

B

C

C

D

B

A

C

B

D

C

B



 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5 分，共20分.把答案填在题中的横线上.）

13．
； 14．
； 15．
； 16．
.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

19.（12分）

证明：（1）由已知可建立以
分别为
轴的空间直角坐标系

则

那么
，

所以
，即
是异面直线
的公垂线；

（2）设
分别为
的法向量

则
；
，即
；

解得
；

取
，则

故二面角
的平面角的余弦值为
。

20.（12分）

解：（1）∵
，
，

∴
，化简得

故点的轨迹方程为
；

（2）由题意知
，可设直线
的方程为
，

由
消去并化简得

则

∴

令
，那么
.则

由于
时，
，从而有
，故
的面积有最大值
。

21.（12分）

解：（1）∵
，∴

由已知得
，则
，那么切点为

故切线方程为
，即

（2）由于

当
时，恒有
，那么
在
上递增；

当
时，由
得

若
，则
，那么
在
递增；

若
，则
，那么
在
递减。

（3）当
时，令
，则

当
时，
，则
在
上递减，那么

故当
且
时，
。

22.（12分）

解：（1）当
时，

若函数
有意义，则
，即

∴
，解得
；

故当
时，
的定义域为

（2）若函数
的定义域为，则
恒成立

即
，则
。