天津市蓟县擂鼓台中学2014届高三第二次模拟考试数学（文）试题

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1． 设复数满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．在等差数列｛a
｝中，已知a
=2,a
+a
=13，则a
等于 （ ）

A．13 B．14 C．15 D．16

3．双曲线
的焦距为（ ）．

A．1 B． C．3 D．

4．
是直线
和直线
垂直的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知是第三象限角，
，则sin2=（ ）

A．
B．
C．
D．

6．名工人某天生产同一零件，生产的件数是
设其平均数为,中位数为
,众数为，则有

Ａ．
B．
　 C．
D．

7．如右程序框图，输出的结果为 （ ）

A．1　　 B．2　　 C．4　 　　D．16

8．同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线
对称的一个函数是

A．
B．

C．
D．

9．．若函数
的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：















 那么方程
的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

10．已知
是以为周期的偶函数，当
时，
，那么在区间
内，关于的方程
（
且
）有个不同的根，则
的取值范围是（ 　）

A．
　 B．
C．
D ．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

11．已知集合
，则

12．已知点A（a，1）与点B（a＋1，3）位于直线x－y＋1＝0的两侧，则a的取值范围

是 。

13．已知
，
，
=12则向量
在向量
上的夹角余弦为

14．圆内非直径的两条弦
相交于圆内的一点,已知
,

16． 圆
关于直线
对称，则ab的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

在
中，已知内角
，边
.设内角
,面积为.

(1)若
，求边
的长；

(2)求的最大值.

18．（本小题满分12分）

如图，已知一四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是侧棱PC上的动点

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）证明：BD⊥AE。

19．（本小题满分12分）

甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢。

（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；

（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由。

20．（本小题满分12分）

已知等差数列
的前n项和为
，公差

成等比数列

（1）求数列
的通项公式；

（2）若从数列
中依次取出第2项、第4项、第8项，
，按原顺序组成一个新数列
，且这个数列的前
的表达式．

21．（本小题满分14分）对于三次函数

。

定义：（1）设
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”；

定义：（2）设
为常数，若定义在上的函数
对于定义域内的一切实数，都有
成立，则函数
的图象关于点
对称。

己知
，请回答下列问题：

（1）求函数
的“拐点”的坐标

（2）检验函数
的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）

（3）写出一个三次函数
，使得它的“拐点”是
（不要过程）

22．．（本题14分）已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.
，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.

（I）证明
为定值;

（II）若△POM的面积为
，求向量
与
的夹角；

(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.



………………8分

=

………………10分

，

当
即
时，取得最大值
. ………………14分

18. （1）解：该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.

∴
----------------------------4分

(2)连结AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且
平面
　∴BD⊥PC

又∵
∴BD⊥平面PAC　

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC

∴BD⊥AE --------------------------------------------8分

(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)

所以甲胜的概率
,乙胜的概率
＝
-------------11分

所以这种游戏规则是公平的。-------------------------------------------------12分

20. 解：（1）依题意，得：

……2分
……4分

……6分

（2）
……8分

21. （1）依题意，得：
，

。……………………2分

由
，即
。∴
，又
，

∴
的“拐点”坐标是
。……………………4分

（2）由(1)知“拐点”坐标是
。 而

（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分

（3）
或写出一个具体的函数,如
或
。…………12分

21. 解：⑴∵

∴

∴
为等差数列，首项为
，公差d=1 (4分)

⑵由⑴得
∴
(6分)

∴Sn=1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n

2Sn=1·22＋2·23＋3·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1

两式相减得：－Sn=21＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1

=

∴Sn=2－2n+1＋n·2n+1=(n－1)·2n+1＋2 (10分)

⑶

∴
∴
(12分)

又∵2(2n2＋n－1)－(2n2＋n)=2n2＋n－2

当n≥1时，2n2＋n－2>0 ∴2(2n2＋n－1)>2n2＋n>0

∴
即bn＋1

∴{bn}为递减数列 (14分)

数列{bn}中的最大值为b1=0.5

22. 解：（I）设点
、M、A三点共线，

…………………… 2分

…………………………………………… 5分

(II)设∠POM=α，则

由此可得tanα=1.………………… 8分

又
…………………… 10分

(Ⅲ)设点
、B、Q三点共线，