蓟县擂鼓台中学2014届高三第二次模拟考试数学（理）试题

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1． 设复数满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．在等差数列｛a
｝中，已知a
=2,a
+a
=13，则a
等于 （ ）

A．13 B．14 C．15 D．16

3．若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则的值为（ ）．

A．
B． C．
D．

4．
的展开式中，常数项为
，则
（ ）

A．
B． C．
D．

5．名工人某天生产同一零件，生产的件数是
设其平均数为,中位数为
,众数为，则有

Ａ．
B．
　 C．
D．

6．如右程序框图，输出的结果为 （ ）

A．1　　 B．2　　 C．4　 　　D．16

7．．若函数
的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：















 那么方程
的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

8．同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线
对称；③在
上是增

函数”的一个函数是

A．
B．

C．
D．

9．、
，
、
、
是共起点的向量，
、
不共线，
，则
、
、
的终点共线的充分必要条件是（ ）

A．
　B．
C．
　D．

10．已知
是以为周期的偶函数，当
时，
，那么在区间
内，关于的方程
（
且
）有个不同的根，则
的取值范围是（ 　）

A．
　 B．
C．
D ．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

11．
＝ 。

12．已知点A（a，1）与点B（a＋1，3）位于直线x－y＋1＝0的两侧，则a的取值范围

是 。

13．在极坐标系中,点
到曲线
上的点的距离的最小值为 .

14．圆内非直径的两条弦
相交于圆内的一点,已知
,

则

15．已知某个几何体的三视图如下

（主视图的弧线是半圆），根据

图中标出的尺寸（单位：cm），

可得这个几何体的体积是 .

16． 圆
关于直线
对称，则ab的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．在
中，已知内角
，边
.设内角
,面积为.

(1)若
，求边
的长；

(2)求的最大值.

18．（本小题满分12分）

如图，已知一四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是侧棱PC上的动点

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）证明：BD⊥AE。

（3）求二面角P-BD-C的正切值。

19．（本小题满分12分）

某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由果园承担.

若果园恰能在约定日期(月日)将水果送到,则销售商一次性支付给果园20万元; 若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给果园1万元; 若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给果园1万元.

为保证水果新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送水果,已知下表内的信息

统计信息

汽车行

驶路线

不堵车的情况下到达城市乙所需 时间 (天)

堵车的情况下到达城市乙所需时间 (天)

堵车的

概率

运费

(万元)



公路1

2

3







公路2

1

4







 (注毛利润销售商支付给果园的费用运费)

(Ⅰ) 记汽车走公路1时果园获得的毛利润为
(单位万元),求
的分布列和数学期望
;

(Ⅱ) 假设你是果园的决策者,你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多?

20．（本小题满分12分）对于三次函数

。

定义：（1）设
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”；

定义：（2）设
为常数，若定义在上的函数
对于定义域内的一切实数，都有
成立，则函数
的图象关于点
对称。

己知
，请回答下列问题：

（1）求函数
的“拐点”的坐标

（2）检验函数
的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）

（3）写出一个三次函数
，使得它的“拐点”是
（不要过程）

21．（本小题满分14分）已知数列

⑴求证：
为等差数列；

⑵求
的前n项和
；

⑶若
，求数列
中的最大值.



数学理试卷（参考答案）

一、选择题：

………………8分

=

………………10分

，

当
即
时，取得最大值
. ………………14分

19. 解 (1)汽车走公路1时,不堵车时果园获得的毛利润
万元;

堵车时果园获得的毛利润
万元;

汽车走公路1时果园获得的毛利润
的分布列为















 ……… 4分

万元 ……… 5分

（2）设汽车走公路2时果园获得的毛利润为，

不堵车时果园获得的毛利润
万元;

堵车时果园获得的毛利润
万元;

汽车走公路1时果园获得的毛利润的分布列为















 ……… 10分

万元 ……… 12分

（2）由(1)知“拐点”坐标是
。

而
=

=
=
，

由定义(2)知：
关于点
对称。……………………8分

一般地，三次函数

的“拐点”是
，它就是
的对称中心。……………………………………………………………………10分

（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分

（3）
或写出一个具体的函数,如
或
。…………12分

21. 解：⑴∵

∴

∴
为等差数列，首项为
，公差d=1 (4分)

⑵由⑴得
∴
(6分)

∴Sn=1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n

2Sn=1·22＋2·23＋3·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1

两式相减得：－Sn=21＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1

=

∴Sn=2－2n+1＋n·2n+1=(n－1)·2n+1＋2 (10分)

⑶

∴
∴
(12分)

又∵2(2n2＋n－1)－(2n2＋n)=2n2＋n－2

当n≥1时，2n2＋n－2>0 ∴2(2n2＋n－1)>2n2＋n>0

∴
即bn＋1

∴{bn}为递减数列 (14分)

数列{bn}中的最大值为b1=0.5

22. 解：（I）设点
、M、A三点共线，

…………………… 2分

…………………………………………… 5分

(II)设∠POM=α，则

由此可得tanα=1.………………… 8分

又
…………………… 10分

(Ⅲ)设点
、B、Q三点共线，

即
…………………………………… 12分