天津市蓟县第二中学2014届高三5月模拟数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、如果复数
的实部和虚部互为相反数，那么实数a等于(?? ??)

(A)

????????????? (B) 2???????????????? (C) ?
?????????? (D)

2、已知集合A=
，B=
则
=( )

(A)
(B)
(C)
(D)

3、全称命题“
”的否定是（ ） (A)
(B)
(C)
(D)

4、三视图如下的几何体的体积为 ( )

A．
　 B． 　C． D．

5、已知向量
，
，那么
的值为（ ）

(A)
?
??????????? (B)
???????????????? (C)
???????? (D) 3

6、 某班由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，则志愿者服务人员组成的方法总数为（ ）

(A)
(B)
(C)
( D)

7、
的展开式中含
的系数为（ ）

(A)-32 (B) 32 (C) -92 (D) 100

8、
是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，且
是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

9、数列
满足
，
，
是
的前n项和，则
＝( ) A．4 B．6 C．
D．

10、已知
是R上的增函数，则a的取值范围是 ( )(A)
(B)
(C)
(D)

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。

11、设和满足不等式组
，则
的最值

???????????????

12、 右面框图表示的程序所输出的结果是

13、一个四面体共一个顶点的三条棱两两垂直，其长分别为
、
、2，且四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的体积为

14、已知直线
与圆
交于A、B两个不同点，则实数的取值范围为

15、
的值为

16、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“
”如下：当
时，
；当
时，
.则函数
的最大值是

三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

已知
是三角形
的三个内角，向量

，且

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若
，求
的值。

18、（本小题满分12分）

甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有个球，乙袋中共有2个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为
，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为
.

（Ⅰ）若=10，求甲袋中红球的个数；

（Ⅱ）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是
，求
的值；

（Ⅲ）设
=
，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次. 设
表示摸出红球的总次数，求
的分布列和数学期望.

19、（本题满分12分）

如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD且EF＝
BD（1）求证：BF∥平面ACE；

（2）求二面角B－AF－C的大小；

（3）求点F到平面ACE的距离．



20、（本题满分12分）已知函数
，其中
．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当
时，求函数f(x)的最大值．

21、（本题满分14分）

已知数列
的前项和为
，对一切正整数，点
都在函数
的图象上，且过点
的切线的斜率为
．（1）求数列
的通项公式；（2）若
，求数列
的前项和
；（3）设
，等差数列
的任一项
，其中
是
中的最小数，
，求
的通项公式．

22、（本题满分14分）

已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别是
的左、右顶点，而
的左、右顶点分别是
的左、右焦点。

（1）求双曲线
的方程；

（2）若直线
与椭圆
及双曲线
都恒有两个不同的交点，且
与
的两个交点，A和B满足
（其中O为原点），求
的范围。

17、解：（I）
………2分

…………6分

（Ⅱ）由题知
，整理得
…8分

或
。………10 分

而
使
，舍去

……………………………………………………………………12 分

另解：

所以
的分布列为

0

1

2

3

















所以
0×
+1×
+2×
+3×
=
．…………………………12分

19、证：（1）记AC与BD的交点为O，连接EO，则可证BF∥EO，又
面ACE，
面ACE，故BF∥平面ACE； （3分）解：（2）ABCD为正方形，
，

的大小为
； （8分）

（3）点F到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，也等于点D到平面ACE的距离，该距离就是Rt△EDO斜边上的高，即
． （12分）（本题运用向量法解答正确，请参照给分）

20、解：（1）
,易知
,
．当
时，令
得
，所以
的单增区间为
，同理，单减区间为
；当
时，
，所以
在
上单增；当
时，令
得
，所以
的单增区间为
，同理，单减区间为
． （8分）（2）当
时，
．令
得
．列表如下：
所以，
． （12分）

21、解：（1）点
都在函数
的图象上，
,当
时，
当ｎ＝1时，
满足上式，所以数列
的通项公式为
（4分）（2）由
求导得
．过点
的切线的斜率为
，
．
．
设等差数列的公差为
，则

，即为
的通项公式． （14分）

22、解：（1）设双曲线
的方程为
则

再由
得
，故
的方程为
………………..(5分)

（2）将
代入得
，得

，…………………………………………….(7分)

由直线
与
恒有两个不同的交点，得：

，即
①………(8分)

将
代入
，得

，由直线
与
恒有两个不同的交点，得：

即
且
②……………………………………………(9分)

设
，则
(10分)

由
得
，而