天津市蓟县康中中学2014届高三5月模拟数学（理）试题

参考公式：

如果事件
互斥，那么 球的表面积公式

如果事件
相互独立，那么 其中表示球 P(AB)=P(A)P(B) 球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率 其中表示球的半径

第一部分 选择题（共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1、设复数满足关系式+││=2+,那么等于( )

(A) -
+ ；(B)
- ；(C) -
-； (D)
+.

2 设函数
为 （ ）

A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为

C．周期函数，数小正周期为
D．非周期函数

3、设
则以下不等式中不恒成立的是 （ ）

A．
； B．
；

C．
； D．

4、如果
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）

（A）7 （B）－7 （C）21 （D）－21

5、若直线
与直线
的交点位于第一象限，则直线
的倾斜角的取值范围是 （ ）

(A)
, (B)
,

(C)
, (D)

6、 如果
，
，…，
为各项都大于零的等差数列，公差
，则

（A）


；（B）


；（C）
+

+
；（D）

=
.

7、如图所示给出的是计算
的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是

A.
B.
C.
D.

8、函数
的部分图象如图，则（ ）

A．
； B．
；

C．
； D．

9、若椭圆经过原点，且焦点F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为　（ ）

A、
B、
C、
D、

10、定义函数
，若存在常数C，对任意的
，存在唯一的
，使得
，则称函数
在D上的均值为C。已知
，则函数
上的均值为（ ）

A、
B、
C、
D、10

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分．

11、将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有　　 　　.

12、一个几何的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为 .

13、不论k为何实数，直线
与曲线
恒有交点，则实数a的取值范围是 。

14、(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为
，则直线的极坐标方程为______________.

15．(几何证明选讲选做题) 已知
是半圆
的直径，点
在半圆上，
于点，且
，设
，则
＝ ．

16、底面边长为2的正三棱锥
中，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB中点，则四边形EFGH的面积取值范围是_________。

三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

在△
中，已知a、b、分别是三内角、、所对应的边长,且

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，试判断△ABC的形状并求角的大小.

18．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,

G是CC1上的动点。

（Ⅰ）求证：平面ADG⊥平面CDD1C1

判断B1C1与平面ADG的位置关系，并给出证明；

（Ⅲ）若G是CC1的中点，求二面角G－AD－C的大小。

19．（本小题满分12分）

设等比数列
的首项
，前n项和为
，且
成等差数列．

（Ⅰ）求
的公比；

（Ⅱ）用
表示
的前项之积，即

，试比较
、
、
的大小．

20．（本小题满分12分）

在一次考试中共有８道选择题，每道选择题都有４个选项，其中有且只有一个选项是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得５分，不选或选错得０分”．某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断２个选项是错误的，有一道仅能判断１个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：

（１）该考生得40分的概率；

（２）该考生得多少分的可能性最大？

（３）该考生所得分数的数学期望．

21． (本小题满分13分)

已知圆C：
，圆C关于直线
对称，圆心在第二象限，半径为

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）已知不过原点的直线
与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线
的方程。

22．（本小题满分13分）

对于定义域为D的函数
，若同时满足下列条件：

①
在D内单调递增或单调递减；

②存在区间[
]
，使
在[
]上的值域为[
]；那么把
（
）叫闭函数。

（Ⅰ）求闭函数
符合条件②的区间[
]；

（Ⅱ）判断函数
是否为闭函数？并说明理由；

（Ⅲ）若
是闭函数，求实数
的取值范围。

参考答案及评分说明

一．选择题：DBBCB BACCC

解析：1：因为=(2 -││)+,由选择支知││<2,所以的实部为正数,虚部为1,根据这个隐含条件,(A),(B),(C)均可筛去,所以选(D).

2：先将周期最小的选项（A）的周期T=
代入
检验，不成立则排除(A)；再检验（B）成立. 所以选(B).

3：∵
∴可取
代入四个选项验证，发现B错误，∴应选(B).

4：“
的展开式中各项系数之和为128” ( 2n =128 ( n=7；

由通项公式Tr+1=
=
，

令7－=－3，解得r=6，此时T7= ，故选C

5:作两直线的图象,从图中可以看出:

直线
的倾斜角的取值范围应选(B).

6：取特殊数列
=，排除(A)、(C)、(D). ∴选(B).

7：如图所示,

作

∴柱体体积

故选C.

8:由图象可知,x=1时
=1. 由此可排除(A)、(D)；再由周期除(B).

∴应选(C).

9：利用椭圆的定义可得
故离心率
故选C。

10：
，从而对任意的
，存在唯一的
，使得
为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令
,当
时，
，由此得
故选A。

二．填空题：11.25; 12.
; 13、
；14、
；

15、
； 16、
；

三．解答题：

17．解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：

，………………………………………………………2分

又∵

…………………………………………5分

∵

∴
…………6分

（Ⅱ）∵
，由正弦定理得
…………8分

即:
故△ABC是以角C为直角的直角三角形……………10分

又
…………………………………………………………12分

18.解：（Ⅰ）∵ ABCD－A1B1C1D1是长方体，且AB=AD

∴

平面
-----------------------------------2分

∵
平面
∴平面ADG⊥平面CDD1C1-------------------------4分

（Ⅱ）当点G与C1重合时，B1C1在平面ADG内，

当点G与C1不重合时，B1C1∥平面ADG-------------------------------------6分

证明：∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，

∴B1C1∥AD

若点G与C1重合， 平面ADG即B1C1与AD确定的平面，∴B1C1平面ADG

若点G与C1不重合

∵
平面

,
平面
且B1C1∥AD

∴B1C1∥平面ADG----------------------------------------------------------10分

（Ⅲ）∵
∴
为二面角G－AD－C的平面角----11分

在Rt△GDC中，∵GC=1,DC=1 ∴
=45°----------------12分

19．解：（Ⅰ）解法一：
，
，

由已知
， ……………………4分

得：
，

，
的公比
. ……………………8分

解法二：由已知
， ……………………2分

当
时，
，
，
，

则
，
与
为等比数列矛盾； ……4分

当
时，则
，

化简得：
，
，
，
……8分

（Ⅱ）
，则有：

……………………10分

…………………11分

……………………12分

20.解：（1）设选对一道“可判断２个选项是错误的”题目为事件A，“可判断１个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C.则
---

所以得４０分的概率
……………4分

(2),该考生得20分的概率
=
………… 5分

该考生得25分的概率：

=
………………6分

该考生得30分的概率：
=
=
-------7分

该考生得35分的概率：

=
………………9分

∵
　∴该考生得25分或30分的可能性最大…………………11分

（3）该考生所得分数的数学期望
=
…………………12分

21．解：（Ⅰ）由
知圆心C的坐标为
----（1分）

∵圆C关于直线
对称

∴点
在直线
上 -----------------（2分）

即D+E=－2，------------①且
------------②------------（3分）

又∵圆心C在第二象限 ∴
-----------------（4分）

由①②解得D=2,E=－4 -----------------（5分）

∴所求圆C的方程为：
------------------（6分）

（Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设
：
-----（7分）

圆C:

圆心
到切线的距离等于半径
，

即

。 ------------------（11分）

所求切线方程
------------------（13分）

22．解：（Ⅰ）由题意，
在[
]上递减，则
解得

所以，所求的区间为[-1，1] ………………………4分

（Ⅱ）取
则
，即
不是
上的减函数。

取

，

即
不是
上的增函数

所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。-----9分

（Ⅲ）若
是闭函数，则存在区间[
]，在区间[
]上，函数
的值域为[
]，即
，
为方程
的两个实数根，

即方程
有两个不等的实根。

当
时，有
，解得
。

当
时，有
，无解。

综上所述，
-----------------------------------13分