黑龙江省大庆铁人中学2013－2014学年度高三下学期4月月考数学试题(理科)

2014.4

考试时间：120分钟 总分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分，在每题给出的四个选项中，只有
一个是正确的）

1. 已知集合
若
,则
为 ( )

A．
B．

C．

D．

2．设
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则
的值为（ ）

A．
B．
C．1 D．3

3．
已知
，
为两条不同的直线,
，
为两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）

A．
,
,且
,则

B．若平面
内有不共线的三点到平面
的距离相等,则

C．若
,则
D．若
,则

4．给出下列三个结论：

（1）若命题
为假命题，命题
为假命题，则命题“
”为假命题；

（2）命题“若
，则
或
”的否命题为“若
，则
或
”；

（3）命题“
”的否定是“
”.则以上结论正确的个数为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.设等比数列
中，前n项和为
,已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有 （ ）种

A．12 B． 36 C．72 D．108

7. 函数
的最小正周期是
，若其图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数
的图象（ ）

A．关于点
对称B．关于
对称C．关于点
对称 D．关于
对称

8. 若
则
的大小关系为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是 （ ）

A．
B．
C．

D． 2

10. 已知向量
，
，且
，若实数
满足不等式
，则实数
的取值范围为（ ）

A．[－3,3] B．
C．
D．

11. 若抛物线
上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为（ ）

A．

B．
C．1 D．2

12．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.
的展开式的常数项为

14.某几何体的三视图如图，则它的体积是________

15．
，则数列
的前
项和
____________

16．过双曲线
的左焦点
，作倾斜角为
的直线
交该双曲线右支于点P，若
且
，则双曲线的离心率为________

三、解答题（本大题共6小题，其中17-21每题各12分，22-24三选一10分，共70分）

17．在
中，角
对边分别是
，满足
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）求
的最大值，并求取得最大值时角
的大小．

18．某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人

的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机[来源:学科网ZXXK]

选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望．

19． 如图，直三棱柱
中,
，
，
，
,点
在线段
上．

（Ⅰ）若
是
中点，证明
∥平面
；

（Ⅱ）当
时，求二面角
的余弦值。

20. 已知椭圆C：
经过点
，离心率
，直线
的方程为
.

(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线
与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为
，问：是否存在常数
，使得
？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由。

21. 已知函数
，当
时，
有极大值
。

(1)求实数
的值；

(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围。

三选一：22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:

如图，AB是⊙O的直径，AC
是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。

（I）求证：DE是⊙O的切线；

（II）若
的值.

23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C的圆心
，半径

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（
Ⅱ）若
，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
交圆

于
两点，求弦长
的取值范围．

24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知函数
。

（1）若
的解集为
，求实数
的值。

（2）当
且
时，解关于
的不等式
。

2014.4 高三考试理科数学试题答案

一、选择题

ADDCC BDBAA DB

二、填空题

15

三、解答题

17、

18. 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75
；……………………………2分

（2）设
表示所取3人中有
个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件
，则
； …………………6分

（3）
的可能取值为0，1，2，3.

；
；

；
……..……………..10分

所以
的分布列为：




]





















. ………..……….…12分

另解：
的可能取值为0，1，2，3.则
，
.

所以
=
．

19．证明：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则
(3, 0, 0)，

(0, 4, 0)，
(0, 4, 4)，
(3, 0, 4)，
(0, 4, 4)

（1）解法一：

设平面B1 CD的法向量为
，

由
[来源:学_科_网Z_X_X_K]

且
，

令x = 4得
，

所以

又
所以 AC1∥平面B1CD；

解法二：证明：连结BC1，交B1C于E，DE．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C
1，D是AB中点，

所以侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，

所以 DE// AC1．

因为 DE
平面B1CD， AC1
平面B1CD，

所以 AC1∥平面B1CD． 　　　　　　　　　　　　　　

（2）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，[

设D (a, b, 0)（
，
），

因为 点D在线段AB上，且
， 即
．

所以
，
，
．

所以
，
．

平面BCD的法向量为
．

设平面B1 CD的法向量为
，

由
，
， 得
，

所以
，
，
．

设二面角
的大小为
，

所以
．

所以 二面角
的余弦值为
．

20．解：（1）由点
在椭圆上得，
①
②

由 ①②得
，故椭圆
的方程为
……………………..4分

（2）假设存在常数
，使得
.

由题意可设

③

代入椭圆方程
并整理得

设
，则有
④ ……………6分

在方程③中，令
得，
，从而

.又因为
共线，则有
，

即有

所以

=

⑤

将④代入⑤得


，又
，

所以

故存在常数
符合题意……………………………………………………………12分

21．（1）当
时，

则
，所以
（2分）

因为
，所以
（4分）

（2）因为存在
，使得

所以问题可转化为当
时，

由（1）知，

当
时，

令
得
或

当x变化时，
，f(x)变化情况如下表

x

(-1,0)

0











-

0

+

0

-



f(x)



极小值



极大值





又f(-1)=2,f(
)=
,f(0)=0

所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2 （6分）

当
时，f(x)=alnx

当
时，
，所以f(x)的最大值为0

当
a>0时，f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)在[1,2]上的最大值为aln2 (8分)

由此可知，当
时，f(x)在[-1,2]上的最大值为2；

由
得

当a>0时，若
即
时，f(x)在区间[-1,2]上的最大值为2；

由
得
（10分）

若
即
时，f(x)在区间[-1,2]上的最大值为

由
得

综上可知，a的取值范围为
（12分）

…

22．（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分

∴OD//AE 又AE⊥DE …………………………………3分

∴OE⊥OD，又OD为半径

∴DE是的⊙O切线 ………………………5分

（II）解：过D作DH⊥AB于H，

则有∠DOH=∠CAB

…………6分

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分

又由△A
EF∽△DOF 可得

……………………………………………………10分

23.(1)由
得，C直角坐标（1,1），所以圆C的直角坐标方程为

，由
得，圆C的直角坐标方程为

（
2）将
带入C的直角坐标方程
得

则

设Ａ，Ｂ对应参数分别为
，则
，

因为
，所以　
所以

所以