黑龙江省大庆铁人中学2013－2014学年度高三下学期4月月考数学试题(文科)

2014.4

考试时间：120分钟 总分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1．已知

，则
（ ）

(A)
(B)
(C)
( D)

2．是虚数单位，复数
，则
=（ ）

（A）
（B） 2 （C）
（D） 1

3. 某程序框图如图所示，若
，则该程序运行后，输出的的值为（ ）

(A) 33 ( B) 31 ( C)29 ( D) 27

4.某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为

(A)
(B)

(C)
(D)

5．若等比数列
中满足
，则
( )

(A)
(B)
(C)
(D)

6.已知
满足约束条件
，设
表示的平面区域为
,在区域
内任

取一点 ，则此点到直线
的距离大于
的概率为( )

(A)
(B)
(C)
( D)

7．设
是三条不同直线，，
，是三个不同平面，则下列命题正确题是（ ）

①若
，
，则
；

②若
异面，
，
，
，
，则
；

③若
，
，
，且
，则
；

④若
为异面直线，
，
，
，
，则
．

(A) ①②④ (B) ②④ (C) ②③④ (D) ③④

8．下列关于函数
的命题正确的是（ ）

(A) 函数
在区间
上单调递增

(B) 函数
的对称轴方程是
（
）

(C) 函数
的对称中心是（
）（
）

(D) 函数
以由函数
向右平移
个单位得到

9.已知函数
，则
，
，
的大小关系为（A)
　　　 ( B)

(C)
　　　 ( D)

10．在
中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，
，
，
，

则
等于( )

(A)
(B)
(C)
(D)

11.双曲线
（
）的两个焦点为
，若P为其上的一点，且
，则双曲线离心率的取值范围为（　 　）

(A)
(B)
(C)
(D)

12. 关于的方程

（其中是自然对数的底数）的有三个不同实根，则
的取值范围是

(A) {
|
> } (B) {
|
>
} (C) {
|
} (D) {
|
}

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13. 若为锐角，且
，则
.

14.
依此类推，第个等式为　　　　　　　　　.

15. 下列说法：

①“
”的否定是“
”；

②若正数
满足
，则
的最小值为
；

③命题“函数
处有极值，则
”的否命题是真命题；

④
上的奇函数，
时的解析式是
，则
时的解析式为

其中正确的说法是 ______________

16．球
的球面上有三点
,且
,过
三点作球
的截面，球心
到截面的距离为4，则该球的体积为________________

三、解答题（本大题共6小题，其中17~22每题各12分，22~24三选一10分，共70分）

17.（本小题满分12分）

已知
是一个公差小于0的等差数列，且满足

(I)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)设数列
的前n项和为
，在由所有前n项和
组成的数列
中，哪一项最大，最大项是多少？

18（本小题满分12分）

对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取
名学生作为样本，得到这
名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组

频数

频率





10

0.25





25















2

0.05



合计

M

1





⑴求出表中
、、、的值；

⑵补全频率分布直方图；若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间
内的人数；

⑶在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间
内的概率.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，AD//BC，
底面
，∠ADC=90°，BC=
AD=1， PD=CD=2，Q为AD的中点．

（Ⅰ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，是否存在实数t，使得PA//平面BMQ，若存在，给出证明并求t的值，若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥
的体积.

20. （本小题满分12分）

如图，已知
，直线
，为平面上的动点，过点作
的垂线，垂足为点
，且
．

（Ⅰ）求动点的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过点的直线交轨迹
于
两点，交直线
于点
．

（1）已知
，
，求
的值；

（2）求
的最小值．

21. （本小题满分12分）

设

（1）求函数
的单调区间；

（2）设
，且
是曲线
上任意两点，若对任意的
，直线
的斜率大于常数，求实数的取值范围

22，23，24为选修题目，三题选择一个作答，如果三题都答，则按第一题评分。

22．(本小题满分10分)

选修4—1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的直径，弦CA、BD的延长线相交

于点E，EF垂直BA的延长线于点F．

求证：(1)
；

(2)
．

23．(本小题满分10分)

选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系.在直角坐标系下，曲线
的参数方程为
（为参数），把曲线
上所有点的横坐标压缩到原来的
（纵坐标不变）得到曲线
．

(1)写出直线
的直角坐标方程与曲线
的普通方程；

(2) 若点
是 曲线
上任意一点，求点
到直线
的最大值．

24．(本小题满分10分)

选修4—5：不等式选讲

设函数

(1)求不等式
的解集；

(2)若不等式
（
，
，
）恒成立，求实数的范围.

参考答案 2014.4

一、CDBAD BCBAB BD

二、13.
; 14.
;

15. ④ ; 16.

三、解答题

17.（本小题满分12分）

解：（1）设等差数列
的首项为
，公差为
.由题可知，

又

故
是方程
的两个根

解得

所以
，

所以

(2)由（1）可知，

所以当
或
时，
取得最大值，最大值为

故在由所有前n项和
组成的数列
中，第5项或者第6项最大，最大项是
或者

18（本小题满分12分）

解：⑴由题可知
，
，
，.

又
，解得
，
，
，
.

⑵由（1）可知，
组的频率与组距之比为0.125. 则频率分布直方图如下：

参加在社区服务次数在区间
内的人数为
人.

⑶在样本中，处于
内的人数为3，可分别记为
，处于
内的人 数为2，可分别记为
. 从该5名同学中取出2人的取法有

共10种；至多一人
内的情况有
共7种，所以至多一人参加社区服务次数在区间
内的概率为
.

19.（本小题满分12分）

解：（1）存在t=1使得PA//平面BMQ，理由如下：

连接
交
于
，连接
,

因为∠ADC=90°，Q为AD的中点

所以
为
的中点

当M为棱PC的中点，即PM=MC时，
为
的中位线

故
//
，又
平面BMQ

所以PA//平面BMQ

（2）由（1）可知，PA//平面BMQ

所以，到平面BMQ的距离等于A到平面BMQ的距离

所以

取CD中点，连接MK，所以MK//PD且MK=
PD=1

又
底面
，所以MK底面

又BC=
AD=1， PD=CD=2，所以

所以
=
=

20. （本小题满分12分）

解法一：（Ⅰ）设点
，则
，由
得：

，化简得
．

（Ⅱ）（1）设直线
的方程为：
．

设
，
，又
，

联立方程组
，消去得：
，
，

由
，
得：

，
，整理得：

，
，

．

解法二：（Ⅰ）由
得：
，

，

，