2013年下期高三年级第四次质量检测数学试卷（汉理）

时量：120分钟 分值：150分 命题人：龚勤

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．集合
，
，若
，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

2.下列命题中是假命题的是（ ）

A.
x∈R，3x＞0 B.
x∈(0，
)，x＞sinx

C.
x0∈R，sinx0＋cosx0＝2 D.
x0∈R，lgx0＝0

3.一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.8π B.12π C. 16π D.32π

4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[3,4]上的减函数”是“f(x)为[0,1]上的增函数”的( )

A．既不充分也不必要的条件 B．充要条件

C．必要而不充分的条件
D． 充分而不必要的条件

5．变量x，y，满足约束条件
，则目标函数z=3｜x｜＋｜y－3｜的取值范围是（ ）

A.［1，6］　B.［－
，6］　　C.［－2，3］　　 D.［
，9］

6．设
的三个顶点都在半径为3的球上，内角
、
、
的对边分别为
、
、
，且
，
为球心，则几何体
的体积为( )

A．
B．
C．
D．

7．抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，且
，弦
中点
在准线
上的射影为
的最大值为( )

A．
B．
C．
D．

8．同时满足以下4个条件的集合记作
：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为

的等差

数列．那么
中元素的个数是（ ）

A．96 B．95 C． 94 D．92

二 、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题。每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第9、10、11两题中任选二题作答，如果全做 ，则按前二题记分。）

9．（坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线
（t为参数）截圆
－3＝0的弦长为 。

10．（几何证明选讲）如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦

BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E

作EF⊥CE交CB的延长线于点F，若CD=2，CB=
，则

EF= 。

11．（不等式选讲）若关于
的不等式
的解集非空，则实数
的取值范围是 。

(二)必做题（12~16题）

12．已知复数
，则z的虚部为 。

13. 已知锐角A，B满足
,则
的最大值为 。

14．已知数列
满足
，则
。

15．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，.若
，则
。

16.我们把形如
的函数称为“依锦函数”，并把其与
轴的交点关于原点的对称点称为“依锦点”，以“依锦点”为圆心凡是与“依锦函数”有公共点的圆，皆称之为“依锦圆”，则当
，
时，

（1）依锦函数的单调增区间为 .

（2）所有的“依锦圆”中，面积的最小值为____________.

三、解答题：本大题共6小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在岳阳市中学生射击比赛中某射手射击一次所得环数X的分布列如下：

现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为
.

(I)求
≤9的概率； （II）求
的分布列与数学期望

18.（本小题满分12分）已知函数
.

（1）求
的最大值；

（2）若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.

19.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC, 侧面AA1C1C

是边长为2的正方形，且△ABC为正三角形,E是A1B的中点,F在棱CC1上。

（I）当
CF时，求多面体A1ABCF的体积；

（II）当点F使得A1F+BF最小时，求二面角A－A1F－B的正弦值。

20．(本小题满分13分)

中华电子商城是“联想”牌电脑的特约经销单位，为了在来年的电脑销售中居于有利地位，2013年5~7月，商城对“联想”牌电脑的市场销售情况进行了摸底调查，经过对市场情报的分析，预计从2014年1月开始的10个月内(称为销售期)，电脑的销售总量f(n)与销售的时间n (单位：月)近似地满足函数关系f(n)=
n(n+2)(18－n)，试问：

(1) 在2014年哪个月的销售量超过130台？

(2)在2014年的销售期内几月份的销售量最大？

(3)在2014年的销售期内，商场每个月月初从厂家等量进货，为了保证该品牌电脑不脱销(即商城始终有货可售)，每月应至少进多少台该电脑？

21．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：＋y＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；

（2）求线段MN长的最小值；

（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

22．（本小题满分13分）

已知
，
，且直线
与曲线
相切．

（1）若对
内的一切实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（2）当
时，求最大的正整数
，使得对
（
是自然对数的底数）内的任意
个实数
都有
成立；

（3）求证：

．

2013年下期高三年级第四次质量检测理科数学参考答案

一、选择题：ACCBDBBC

二、填空题: 9． 2
10.
11.
12．1 13.
14． 122 15．b2－a2 16.
3

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 解：(I)1-0.2=0.8.............4分

所以最大值为0………………………………………………..6分

19.解析：（Ⅰ）

由已知可得
的高为
且等于四棱锥
的高.

，即多面体
的体积为
………… 5分

（Ⅱ）将侧面
展开到侧面
得到矩形
,连结
,交
于点
,此时点
使得
最小.此时
平行且等于
的一半,
为
的中点. ……7分

以
分别为
轴，
轴，过点A且与
垂直的直线为
轴建立空间直角坐标系，则

显然平面
的法向量为

设平面
的法向量为

∵
∴
令
得

设二面角
为
则

……………… 12分

20．解：因为f(n)=
n(n+2)(18－n),

(1)第一个月的销售量为f(1)=
＜130,

当n≥2时，第n个月的销售量

f(n)－f(n－1)=－
(3n2－35n－19),

根据题意，要f(n)－f(n－1)＞130,

只要－
(3n2－35n－19)＞130，

只要3n2－35n+98＜0,即
＜n＜7,即n=5或6，

所以2014年5、6月份的销售量超过130台. ………………………………. 5分

(2)由(1)知，销售量最大的月份应是5月份或6月份，

∵［f(6)－f(5)］－［f(5)－f(4)］=
＞0，

∴6月份的销售量最大……………………………….9分

(3)设每月应至少进该电脑x台，依题意nx＞f(n),对一切n(1≤n≤10)恒成立,

即9x＞－10(n－8)2+1000对一切n(1≤n≤10)恒成立，

∴x＞
,即x≥112,

∴每月份应至少进该电脑112台……………………………….13分

21. 解：（1）由题设＋y＝1可知，点A(0，1)，B(0，－1).

令P(x0，y0)，则由题设可知x0≠0.

所以，直线AP的斜率k1＝，PB的斜率为k2＝. ………………2分

又点P在椭圆上，所以
（x0≠0），从而有

k1·k2＝.＝＝－. ………………4分

（2）由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，直线PB的方程为

y－(－1)＝k2(x－0).

由
，解得
；

由
，解得
.

所以，直线AP与直线l的交点
，直线PB与直线l的交点
.

于是
，又k1·k2＝－，所以

≥2
＝4，

等号成立的条件是
，解得
.

故线段MN长的最小值是4. ………………8分

（3）设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点，则·＝0，故有
.

又
，所以以MN为直径的圆的方程为

.

令
，解得
或
.

所以，以
为直径的圆恒过定点
（或点
）．

………………13分

注：写出一点的坐标即可得满分.

22．解：（1）设点
为直线
与曲线
的切点，则有
． （*）

，
． （**）

由（*）、（**）两式，解得
，
． ……………………………2分

由
整理，得
，

，
要使不等式
恒成立，必须
恒成立．

设
，
，

，
当
时，
，则
是增函数，

，
是增函数，
，
．…………………5分

因此，实数
的取值范围是
． ………………………………………6分

（2）当
时，
，

，
在
上是增函数，
在
上的最大值为
．

要对
内的任意
个实数
都有

成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当
时不等式左边取得最大值，
时不等式右边取得最小值．

，解得
．

因此，
的最大值为
． ………………………………………10分

（3）证明（法一）：当
时，根据（1）的推导有，
时，
，

即
． ………………………………………………………11分

令
，得
，

化简得
，
． ………………………13

（法二）数学归纳法：当
时，左边=
，右边=
，

根据（1）的推导有，
时，
，即
．

令
，得
，即
．

因此，
时不等式成立． ………………………………11分

（另解：
，