江苏省南通市2014届高三第三次调研测试

数学学科

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1． 已知集合
，
，则
▲ ．

【答案】

2． 已知复数满足
（是虚数单位），则
▲ ．

【答案】

3． 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取

出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ．

【答案】

4． 平面截半径为2的球所得的截面圆的面积为，

则球心到平面的距离为 ▲ ．

【答案】

5． 如图所示的流程图，输出的值为3，则输入x的值为 ▲ ．

【答案】1

6． 一组数据
的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．

【答案】

7． 在平面直角坐标系
中，曲线的离心率为
,且过点
,则曲线的标准方程

为 ▲ ．

【答案】

8． 已知函数
对任意的
满足
，且当
时，
．若
有4个零点，则实数的取值范围是 ▲ ．

【答案】

9. 已知正实数
满足
，则
的最小值为 ▲ ．

【答案】8

10． 在直角三角形
中， =90°，
，
．若点满足
，则
▲ ．

【答案】10

11．已知函数
的图象如图所示，则
▲ ．

【答案】

12．在平面直角坐标系
中，圆C的方程为
．若直线

上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是 ▲ ．

【答案】

13．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若
，
，且
，则

数列{bn}的公比为 ▲ ．

【答案】

14．在△ABC中，BC=
，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点

在直线AB的两侧）．当
变化时，线段CD长的最大值为 ▲ ．

【答案】3

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤．

15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．

（1）求证：AB∥EF；

（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．

【证】（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，

因为
平面CDEF，
平面CDEF，

所以AB∥平面CDEF．……………………… 4分

因为
平面ABFE，平面
平面
，

所以AB∥EF． …………………………… 7分

（2）因为DE⊥平面ABCD，
平面ABCD，

所以DE⊥BC． …………………………… 9分

因为BC⊥CD，
，
平面CDEF，

所以BC⊥平面CDEF． …………………………… 12分

因为BC平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF． …………………………… 14分

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若
，
．

（1）求
的值；

（2）求函数
的值域．

【解】（1）因为
，所以
． …………………………… 3分

由余弦定理得
，

因为
，所以
． …………………………… 6分

（2）因为
，所以
， …………………………… 8分

所以
．

因为
，所以
． …………………………… 10分

因为
，…… 12分

由于
，所以
，

所以
的值域为
． …………………………… 14分

17．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆

弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧

的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）

（1）设
（弧度），将绿化带总长度表示为的函数
；

（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大．

【解】（1）如图，连接
，设圆心为，连接
．

在直角三角形
中，
，
，

所以
．

由于
，所以弧
的长为
． ……………………3分

所以
，

即
，
． ……………………………7分

（2）
， ……………………………9分

令
，则
， ……………………………11分

列表如下：











+

0









极大值





所以，当
时，
取极大值，即为最大值． ……………………………13分

答：当
时，绿化带总长度最大． ……………………………14分

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
的离心率为
，过椭圆右焦点作

两条互相垂直的弦
与
．当直线
斜率为0时，
．

（1）求椭圆的方程；

（2）求
的取值范围．

【解】（1）由题意知，
，
，

所以
． ……………………………2分

因为点
在椭圆上，即
，

所以
．

所以椭圆的方程为
． ……………………………6分

（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，

由题意知
； ……………………………7分

② 当两弦斜率均存在且不为0时，设
，
，

且设直线
的方程为
，

则直线
的方程为
．

将直线
的方程代入椭圆方程中，并整理得
，

所以
，
，

所以
． ……………………………10分

同理，
．

所以
， ………………………12分

令
，则
，
，
，

设
，

因为
，所以
，

所以
，

所以
．

综合①与②可知，
的取值范围是
． ……………………………16分

19．已知函数
在
时取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）是否存在区间
，使得
在该区间上的值域为
？若存在，求出，的值；

若不存在，说明理由．

【解】（1）
，

由题意知
，解得
或
． …………………………… 2分

当
时，
，

易知
在
上为减函数，在
上为增函数，符合题意；

当
时，
，

易知
在
上为增函数，在
，
上为减函数，不符合题意．

所以，满足条件的
． …………………………… 5分

（2）因为
，所以
． …………………………… 7分

① 若
，则
，因为
，所以
． …………… 9分

设
，则
，

所以
在
上为增函数．

由于
，即方程
有唯一解为
．…………………………… 11分

② 若
，则
，即
或
．

（Ⅰ）
时，
，

由①可知不存在满足条件的
． …………………………… 13分 （Ⅱ）
时，
，两式相除得
．

设
，

则
，

在
递增，在
递减，由
得
，
，

此时
，矛盾．

综上所述，满足条件的
值只有一组，且
．……………………………16分

20．各项均为正数的数列{an}中，设
，
，

且
，
．

（1）设
，证明数列{bn}是等比数列；

（2）设
，求集合
．

【解】（1）当
时，
，

即
，解得
． ……………………………2分

由
，所以
①

当
时，
②

①-②，得
（
），……………………………4分

即
，

即
，所以
，

因为数列{an}的各项均为正数，所以数列
单调递减，所以
．

所以
（
）．

因为
，所以
，

所以数列{bn}是等比数列． ……………………………6分

（2）由（1）知
，所以
，即
．

由
，得
（*）

又
时，
，所以数列
从第2项开始依次递减． …………8分

（Ⅰ）当
时，若
，则
，

（*）式不成立，所以
，即
． ……………………………10分

令
，则
，

所以
，即存在满足题设的数组
（
）．……… 13分

（Ⅱ）当
时，若
，则不存在；若
，则
；

若
时，
，（*）式不成立．

综上所述，所求集合为
（
）． ………………16分

（注：列举出一组给2分，多于一组给3分）

南通市2014届高三第二次调研测试

数学Ⅱ（附加题）

21A．选修4—1：几何证明选讲

如图，圆的两弦
和
交于点，
，
交
的

延长线于点．求证：△
∽△
．

【解】因为
，所以
， ………………3分

又
，所以
， ………………6分

又
，所以△
∽△
． ………………10分

21B．选修4—2：矩阵与变换

若矩阵
把直线
变换为另一条直线
，试求实数值．

【解】设直线上任意一点
在矩阵
作用下的点的坐标为
，

则
，所以
……………………………4分

将点
代入直线
，

得
．

即直线的方程为
．

所以
． ……………………………10分

21C．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为
，若直线

与曲线相交于，两点，求
的值．

【解】设直线的参数方程为
（为参数，为倾斜角）

设，两点对应的参数值分别为
，
．

将
代入
，

整理可得
．………5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）

所以
． ……………………………10分

21D．选修4—5：不等式选讲

已知
，
，
，
．求证
．

【证明】因为
，
，所以
，所以要证
，

即证
．

即证
， ……………………………5分

即证
，

而
显然成立，

故
． ……………………………10分

22．在平面直角坐标系
中，已知定点F（1，0），点在轴上运动，点
在轴上，点

为平面内的动点，且满足
，
．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设点
是直线：
上任意一点，过点
作轨迹的两条切线
，
，切点

分别为，，设切线
，
的斜率分别为
，
，直线
的斜率为
，求证：

．

【解】（1）设点
，
，
．

由
可知，点是
的中点，

所以
即
所以点
，
．

所以
，
． …………3分

由
，可得
，即
．

所以动点的轨迹的方程为
．……………5分

（2）设点
，

由于过点
的直线
与轨迹：
相切，

联立方程
，整理得
．…………7分

则
，

化简得
．

显然，
，
是关于的方程
的两个根，所以
．

又
，故
．

所以命题得证． ……………………………10分

23．各项均为正数的数列
对一切
均满足
．证明：

（1）
；

（2）
．

【证明】（1）因为
，
，

所以
，

所以
，且
．

因为
．

所以
，

所以
，即
． ……………………………4分

（注：用反证法证明参照给分）

（2）下面用数学归纳法证明：
．

① 当
时，由题设
可知结论成立；

② 假设
时，
，

当
时，由（1）得，
．

由①，②可得，
． ……………………………7分

下面先证明
．

假设存在自然数，使得
，则一定存在自然数，使得
．

因为
，
，

，…，
，

与题设
矛盾，所以，
．

若
，则
，根据上述证明可知存在矛盾．

所以
成立． ……………………………10分