2013—2014学年度第二学期调研测试

高 三 数 学

2014．5

全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．

第 一 部 分

一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．已知全集
，集合
，则
= ▲ ．

2．复数
，
，则复数
▲ ．

3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数
作为点P的横、纵坐标，则点P在直线
上的概率为 ▲ ．

4．为了检测某自动包装流水线的生产情况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的重量（单位:克）作为样本。下图是样本的频率分布直方图，根据图中各组的组中值估计产品的平均重量是 ▲ 克.

5．已知抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则双曲线的离心率为 ▲ ．

6．已知直线
与函数
图象的两个相邻交点
，线段
的长度为
，则的值为 ▲ ．

7．执行如图的流程图，若输出的
，则输入的整数的最大值为 ▲ ．

8．设
为互不重合的平面，
是互不重合的直线，给出下列四个命题：

①

②

③

④若
；

其中正确命题的序号为 ▲ ．

9．平行四边形
中，已知
，点
分别满足
，则
▲ ．

10．如图，在
中，已知
，
，点
分别是边
上的点，且
，则
的最小值等于 ▲ ．

11．已知函数
，且
，则的取值范围是 ▲ ．

12．在平面直角坐标系
中，已知直线
和点
，动点满足
，且存在两点到直线
的距离等于，则
的取值范围是 ▲ ．

13．各项均为非负的任意等差数列
满足
，则
的取值范围是 ▲ ．

14．已知点G是斜△ABC的重心，且
，
，则实数
的值为 ▲ ．

二、解答题：（本题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

在
中，角
所对的边分别为
，

，且
．

（1）求角的值；

（2）若
为锐角三角形，且
，求
的取值范围．

16．（本题满分14分）

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H分别是CE和CF的中点.

（1）求证：平面
⊥平面BDEF；

（2）求证：平面BDGH//平面AEF；

17．（本小题满分15分）

某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高

，两底面
是高为
，面积为
的等腰梯形，且
。若储水窖顶盖每平方米的造价为
元，侧面每平方米的造价为
元，底部每平方米的造价为
元。

（1）试将储水窖的造价表示为
的函数；

（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取
）。

18．（本小题满分15分）

设
（
），曲线
在点
处的切线方程为
（
）。

(1)求、
的值；

(2)设集合
，集合
，若
，求实数的取值范围．

19．（本小题满分16分）

已知椭圆E：
的右焦点到其右准线的距离为1，到右顶点的距离为
，圆O：
，P为圆O上任意一点．

（1）求，
；

（2）过点P作PH⊥轴，垂足为H，线段PH与椭圆交点为M，求
；

（3）过点P作椭圆E的一条切线
，直线是经过点P且与切线
垂直的直线，试问：直线是否经过一定点？如果是，请求出此定点坐标；如果不是，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数

，数列数列{
}满足：
=1，
，（
），
，
．

（1）求证：
；

(2) 求
；

（3）在数列
中是否存在不同的三项，使得此三项能成为某一三角形的三条边长？若能，请求出这三项；若不能请说明理由．

2013—2014学年度第二学期调研测试题

高 三 数 学

2014．5

第二部分（加试部分）

（总分40分，加试时间30分钟）

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效．

21．（本题满分10分）

已知矩阵
有特征值
及对应特征向量
，且矩阵
对应的变换将点
变换成
，求矩阵
的另一个特征值。

22．（本题满分10分）

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
.点在直线
上，点
在曲线
上，求
的取值范围．

23．（本题满分10分）

某班联欢晚会玩投球游戏,规则如下:每人最多可连续投只球,累积有三次投中即可获奖；否则不获奖.同时要求在以下两种情况下中止投球：①已获奖；②累积3次没有投中目标.已知某同学每次投中目标的概率是常数
,且投完3次就中止投掷的概率为
，设游戏结束时，该同学投出的球数为.

（1）求的值；

（2）求的分布列和数学期望.

24．（本题满分10分）

从
这个数中取

，

个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为
．

（1）当
时，写出所有可能的递增等差数列及
的值；

（2）求证：
．

2013—2014学年度第二学期调研测试

高三数学参考答案

1．
2．
3．
4．507 5．2

6．3 7．15 8．④ 9．

10．

【解析】设
，则

因为
，所以
，从而
，

当且仅当
时等号成立，

所以
。

11．

【解析1】当
时，则
，此时无解；

当
时，则
，即
，解得，故
。

【解析2】由题意可知，函数
为奇函数，且在
上单调递增，

从而由
得
，解得
。

12．
。

【解析】设点
，则
，即
，

要在圆
上存在两点到直线
的距离等于1，

则需圆心
到直线
的距离
，即
，

解得
或
。

13．

【解析1】由题意得
，

令
，则
且
，

从而点
在如图所示的四分之一个圆上，

故当直线
过点
时，
，

当直线
与四分之一个圆相切于点
时，
，

从而
。

【解析2】令
，则

因为
，所以
，

故
。

解析3：由于已知条件及所求结论是对称的，

所以根据对称性原理，当
时，
，

当
或
时，
，

故所求的结果为
。

14．

【解析1】以AB的中点为原点，AB所在直线为轴建立直角坐标系，
转化为直线
斜率．

【解析2】解化边：
等价于
，

再以
为原点，
所在直线为
轴，建立直角坐标系，并设
，
， 可得：
，所以
；

【解析3】特殊化，设
。

15．【解析】（1）由
得

，

即
，故
，

所以
，
，

由
，
． 7分

（2）由（1）得
，即
，

又
为锐角三角形，故
从而
．

由
，所以
，

故
，
，

所以

．

由
，所以
，

所以
，

即
． 14分

16．【解析】（1）证明：因为四边形
是正方形，

所以
.

又因为平面
平面
，

平面
平面
，

且
平面
，

所以
平面
. 4分

又
平面
，所以平面
⊥平面BDEF 6分

（2）证明：在
中，因为
分别是
的中点，

所以
， 8分

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. 10分

设
，连接
，

在
中，因为
，
，

所以
，

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. 12分

又因为
，
平面
，

所以平面
平面
. 14分

17．【解析】（1）过作
，垂足为，则
，
，

令
，从而
，

故
，

解得
，
， 4分

所以

7分

（2）因为
，

所以
10分

令
，则
，

当
时，
，此时函数单调递减；

当
时，
，此时函数单调递增。

所以当
时，
。

答：当
时，等价最低，最低造价为51840元。 15分

18．【解析】(1)
，

由题设
，∴
，

又切点为
在切线
上，∴
。 4分

(2)
，∵
，∴
，
，即
，

设
，即
，

， 6分

①若
，
在
上为增函数，
，

这与题设
矛盾； 9分

②若
方程
的判别式
，

当
，即
时，
.
在
上单调递减，

，即不等式成立， 12分

当
时，方程
，设两根为
，
，
，

当
,