2014届高三年级第二次模拟考试

数学试卷（理科）

时量：120分钟 分值：150分 命题人：龚勤

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若复数z满足
，则z的虚部为( )

A.  B. 
C. 1
D.

２. 给出下列四个命题，其中假命题是( )

A．样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；

B．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；

D．设随机变量
服从正态分布
，若
则

３．“
”是“函数
的最小正周期为
”的( )

　
．充分不必要条件
．必要不充分条件

．充要条件
．既不充分也不必要条件

4. 已知函数
的值域为
，则满足这样条件的函数的个数为( )

A. 8 B. 9 C. 26 D. 27

５．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=2x+ 3y的最小值为( )

A．6 B．7 C．8 D． 23

6. 已知数列
前
项和为
，第
项满足
，则
的值为( )

7. 已知某算法的流程图如图所示，输入的数x和y为自然数，若已知输出的有序数对为
，则开始输入的有序数对
可能为( )

A.
　B.
　　C.
　　D.

8.已知数列
是等比数列，且
，则
的值为( )

A .
　　 B .
　　C .
　　　D .

9．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
为双曲线的离心率，
是双曲线右支上的点，
的内切圆的圆心为
，过
作直线
的垂线，垂足为
，则线段
的长度为( )

A．
　　B.
　　 C．
D．

10．已知函数
，若
，
为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是( )

（A）
（B）
　　　　（C）
　　　（D）

二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中选两题作答案，如果全做，则按前两题记分 ）

11．（几何证明选讲选做题）如图所示，
是半径等于
的圆
的直径，

是圆
的弦，
,
的延长线交于点
，若
，
，

则
．

12.（不等式选讲选做题）己知
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 .

13．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
（t为参数），在极坐标系 （与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴）中，曲线
的极坐标方程为
,则
与
的两个交点之间的距离等于　 　 　 　．

(二)必做题（14-16题）

14．二项式
展开式中的常数项是_______．

15．在平面斜坐标系
中，
轴方向水平向右，
轴指向左上方，且∠xoy=. 平面上任一点P关于斜坐标是这样定义的：若=
（其中向量
分别为
轴、
轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为
.（1）若Ｐ点斜坐标为（2,2），则Ｐ点到Ｏ点的距离为 ；（2）以Ｏ为顶点，直角坐标Ｆ(1,0)为焦点，x轴为对称轴的抛物线在斜坐标系
中的方程为 ．

16．已知
表示不超过实数
的最大整数
，如：
．定义
，则（１）设函数
，则函数
的不同零点有 个；（２）
．

三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：

新能源汽车补贴标准



车辆类型

续驶里程
（公里）













纯电动乘用车


万元/辆


万元/辆


万元/辆



某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了
辆纯电动乘用车，根据其续驶里程
（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：

分组

频数

频率



























合计







（1）求
+
+
+
的值；

（2）若从这
辆纯电动乘用车中任选
辆，求选到的
辆车续驶里程都不低于
公里的概率；

（3）若以频率作为概率，设
为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求
的分布列和数学期望
．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱柱
的底面
是平行四边形，且
底面
，
，
，
°，点
为
中点，点
为
中点.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设二面角
的大小为
，直线
与平面

所成的角为
，求
的值.

19．（本小题满分12分）

设等比数列
的前
项和为
，已知
，
(
)

（1）求数列
的通项公式；

（2）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列．

求证：
(
).

20．（本小题满分13分）

已知一块半径为
的残缺的半圆形材料
，O为半圆的圆心，
，残缺部分位于过点
的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以
为斜边；如图乙，直角顶点
在线段
上，且另一个顶点
在弧
上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

21．（本小题满分13分）

如图，设椭圆
长轴的右端点为
，短轴端点分别为
、
，另有抛物线
．

（1）若抛物线上存在点
，使四边形
为菱形，求椭圆的方程；

（2）若
，过点
作抛物线的切线，切点为
，直线
与椭圆相交于另一点
，求
的取值范围．

22．(本小题满分13分)

已知函数
（
为常数）．

（1）函数
的图象在点（
）处的切线与函数
的图象相切，求实数
的值；

（2）若
，

、

使得
成立，求满足上述条件的最大整数
；

（3）当
时，若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数
，
，都有

成立，求
的取值范围．

2014届高三年级第二次模拟考试理科数学答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

ABABB DDABD

二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

4 180 2 、
3、1007

三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解：（1） 由表格可知
，所以
，
，
，

+
+
+
= 13.8 …………………… 4分

（2）设“从这
辆纯电动车中任选
辆，选到的
辆车的续驶里程都不低于
公里”

为事件
，则
. ………………………… 8分

（3）
的可能取值为
，
，

所以
的分布列为




















………………………………………… 12分

18．（本小题满分12分）

【解】（1）
，
，

又
，
，则
，即

.又
底面
，
，

而
则
平面
，又
平面
，

平面
平面
. ………6分

（2）
为二面角
的平面角，则
，
.

过
作
的垂线，垂足为
，连结
，又
平面
，
，则
平面
，
为直线
与平面
所成的角， …………8分

易得
，
， …………10分

则
，即
. …………12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）设等比数列
的首项为
，公比为
，

，
（
）

=

即
(
)当
,得

，

即
.………………………………………………6分

（2）①
，则
，

设

① 则


②

①-②得：

2+

=
+

……………………………………………………… 12分

20．（本小题满分13分）

如图甲，设
，

则
，
， ………………………………………………2分

所以
………………………………………………………………… 4分

，当且仅当
时取等号， ……………………………6分

此时点
到
的距离为
，可以保证点
在半圆形材料
内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为
． …………………………………………………7分

如图乙，设
，则
，
，

所以
，
． …………………………………10分

设
，则
，

当
时，
，所以
时，即点
与点
重合时，

的面积最大值为
．因为
，

所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为
．…………13分

21．（本小题满分13分）

解：（1）由四边形
是菱形，

得
，

且
，解得
，
，

所以椭圆方程为
．…………………………… 5分

（2）不妨设
（
），因为
，

所以
的方程为
，即
．又因为直线
过点
，所以
，即
．所以
的方程为
………… 9分

联立方程组
，消去
，得
．所以点
的横坐标为
，所以
．

又
，所以
的取值范围为
．…………………………… 13分

22．(本小题满分13分)

解：（1）∵
，∴
，
，

∴函数
的图象在点（
）处的切线方程为
，--------------------2分

∵直线
与函数
的图象相切，由
消去y得
，

则
，解得
-----------------------------------4分

（2）当
时，∵
，

∴
，---------------------------------------------5分

当
时，
，∴在
上单调递减，

，
--------------------------------7分

则

，

∴

,故满足条件的最大整数
.----------------------------9分

（3）不妨设
，∵函数
在区间[1,2]上是增函数，∴
，

∵函数
图象的对称轴为
，且
，∴函数
在区间[1,2]上是减函数，

∴
，--------------------------------------------------------10分

∴
等价于
，

即
，------------------------------------------11分

等价于
在区间[1,2]上是增函数，

等价于
在区间[1,2]上恒成立，--------------------------12分

等价于
在区间[1,2]上恒成立，

∴
，又
，∴
.-------------------------------------------------13分