2014年慈溪中学高考适应性测试卷

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分，考试时间为120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

第I卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设全集
,集合
,
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2．复数
为纯虚数，则实数a的值为（ ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

3. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为
，则判断

框中应填入的条件是( )

A．
B.

C．
D．

4. 斜三角形ABC中，命题甲:
,命题乙:
,

则甲是乙的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.设m,n是不同的直线，
是不同的平面，下列命题中正确的是 ( )

A．若m//
B．若m//

C．若m//
D．若m//

6.从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有( )

A. 300种 B. 240种 C. 144种 D. 96种7.设
满足约束条件
，若
恒成立，则实数的最大值为 ( )

A．
B．
C．4 D．1

8.已知△ABC所在平面上的动点M满足
，则M点的轨迹过△ABC的( )

A．外心 B． 内心 C．重心 D．垂心

9.点
为双曲线
的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆
相切于点Q,且
,则双曲线的离心率等于（ ）

A.
B.
C.
D. 2

10. 已知定义在R上的函数
满足：
，

，则方程
在区间
上的所有实根之和为(???)???

? A．5??????????B．6???????????????C．7???????????D．8

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）

11．若函数
的图像关于点
成

中心对称，则

12. 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则

此几何体的体积是

13.已知等差数列
的前项和为
，且
，
，则
=

14.已知：
则
=_____ _

15.甲箱里装有3个白球和2个黑球，乙箱里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）。在两次游戏中，记获奖次数为X，则X的数学期望为

16.已知正数
满足
，
，则的取值范围是_____ _

17.已知球
的表面积为
，
是球面上的三点，


，点
是线段
上一点，则
的最小值为

三、解答题：（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

18．（本小题满分14分） 已知
，
，且
．

（1）将表示为的函数
，并求
的单调递增区间；

（2）已知
分别为
的三个内角
对应的边长，若
，

且
，求
的面积。

19．（本小题满分14分）已知数列
的前n项和为
,且
。

（1）若数列
为等比数列，求t的值；

（2）若
，数列
前n项和为
,当且仅当n=6时
取最小值，求实数t的取值范围。

20.（本小题满分15分）如下图所示，平面四边形PABC中，
为直角，
为等边三角形，现把
沿着AB折起，使得
垂直，且点M为AB的中点。

（1）求证：平面PAB⊥平面PCM

（2）若2PA=AB，求直线BC与平面PMC所成角的余弦值。

21．（本小题满分15分）如图，F1，F2是离心率为
的椭圆C：

的左、右焦点，抛物线
与椭圆C在第一象限的交点到
的距离为
．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线
上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F2，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由。

22．（本小题满分14分）已知函数f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中a>0,b>0.

(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),

求a,b的值;

(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为[
],求:

(1)函数h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值M(a);

(2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a的取值范围。

 理科数学参考答案

1、B　2、C 3、B　4、A　5、C　6、B　7、B　8、A　9、C　10、A　

11、
，12、
，13、84 ，14、64，15、
，16
，17、

18.解：由
得
，
，即

（1）令
则
，

故
的单调递增区间为
．

（2）因
，所以
，即

，又因为

所以
，又由余弦定理
得
，

所以
，又
，所以
，所以

19.解：(1）

20. 解：证明：
且交线为AB

又
为直角

所以
··········2分

故
·········3分

又
为等边三角形，点M为AB的中点

所以
··········4分

又

所以
·········5分

又

所以平面PAB⊥平面PCM ·········6分

（2）假设PA=a，则AB=2a

方法一：(等体积法)

··········8分

而三角形PMC为直角三角形，故面积为
··10分

故
··················12分

所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值
········13分

所以余弦值为
·············14分

方法二：（向量坐标法）

以M点为坐标原点，以MB为x轴，以MC为y轴，且设PA=a,则M(0，0，0),P(-a,0,a),B(a,0,0),C(0,
,0) ····8分

故
·假设平面PMC的法向量为

则y=0，x=z,令x=1 故

··········11 分

则直线BC与平面PMC所成角的正弦值
,····13分

所以余弦值为
················15分

21. 解：（Ⅰ）由离心率
可设椭圆C的方程为：
，

设抛物线和椭圆C的交点为

则：
，

代入椭圆方程：
，解得

∴椭圆C的方程为
．

（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为
，

此时
，
，
，不合题意．

当直线AB不垂直于x轴时，设存在点
，
.

设直线AB的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），

由
，得
，

则
，故
，此时，直线PQ的斜率为k1=﹣4m，

PQ的直线方程为y﹣m=﹣4m（x+
），即y=﹣4mx﹣m．

联立
，消去y，整理，得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．

∴
，x1x2=
，

由题意
=0， ∴
=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2

=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）

=（1+16m2）x1x2+（4m2﹣1）（x1+x2）+1+m2

=
+
+1+m2

=
=0，∴m=
．

∵M在椭圆内，∴
，∴m=
符合条件．

综上所述，存在两点M符合条件，坐标为M（﹣
，﹣
）和M（﹣
，
）．

22．

2分

4分