马伸桥中学2014届高三第二次模拟考试数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前．考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其他答案标号，答在试卷上无效。

3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。

参考公式：

锥体的体积公式
，其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数

是虚数单位
的实部是

A．
B．
C．
D．

2.已知
，则“
”是“
成立”的

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

3.
是两个非零向量，且
，则 与
的夹角为

A．300 B．450 C．600 D．900

4.(理)设
的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若MN=240,则展开式中
的系数为（ ）

A. -150 B. 150 C. -560 D. 560

（文）若把函数
的图象向右平移m个单位（m＞0）后，所得到的图象关于轴对称，则m的最小值是

A．
B．
C．
D．

5．等差数列
的值为

A．66 B．99 C．144 D．297

x=t

6．（理）直线 (t为参数)与曲线=1的位置关系是( )

y=at+2a

A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定

(文)直线
与圆
的位置关系是（ ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定

7．若不等式组
，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.
或

8．已知m，n为两条不同的直线，
为两个不同的平面，
，则下列命题中的假命题是

A．若m//n，则
B．若
，则

C．若
相交，则
相交 D．若
相交，则
相交

9．如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为
的圆孤，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可

能性都一样，则它击中阴影部分的概率是

A．1-
B．
C．1-
D．与的取值有关

10.对任意实数
，记
，若
，其中奇函数
在
时有极小值
，
是正比例函数，
与
图象如图，则下列关于
的说法中正确的是

A．
是奇函数

B．
有极大值
和极小值

C．
的最小值为
，最大值为2

D．
在
上是增函数

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

3．本卷共12小题，共100分。

题号

二

三

总分







(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)





得分





















二、填空题：本大题共6小题。每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。

11．（理）对酷爱运动的年轻夫妇，让刚满十个月大的婴儿把“0，0，2，8，北，京”六张卡片排成一行，若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”，则受到父母的夸奖，那么婴儿受到夸奖的概率为___________．

（文）某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有教师中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为 ：

12．如果命题“关于的不等式
的解集是空集”是假命题，则实数的取值范围是_______。

13. 当x＞1时，不等式x+
≥a恒成立，则实数a的最大值为_____________.

14．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，

则判断框中的整数M的值是 ．

15．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的

切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB =3．

则BD的长为 ．

（第15题）

16.有下列命题：①
的图象中相邻两个对称中心的距离为，②
的图象关于点
对称，③关于的方程
有且仅有一个实根，则
，④命题
对任意
，都有
；则
存在
，使得
。其中真命题的序号是_________________________

三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分12分)

在
中，
分别是角A、B、C的对边，

，且
．

（1）求角A的大小；

（2）求
的值域．

18．（本小题满分12分）

（理）2008年5月12日，四川汶川发生8.0级特大地震，通往灾区的道路全部中断. 5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）、陆路（东南和西北两个方向各一支队伍）和空中（一支队伍）同时向灾区挺进．在5月13日，仍时有较强余震发生，天气状况也不利于空中航行. 已知当天从水路抵达灾区的概率是
，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是
，从空中抵达灾区的概率是
．

（Ⅰ）求在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率；

（Ⅱ）求在5月13日抵达灾区的队伍数
的数学期望.

（文）现有编号分别为1，2，3，4，5的五个不同的语文题和编号分别为6，7，8，9，的四个不同的数学题。甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号（x，y）表示事件“抽到的两题的编号分别为x、y，且
”

（1）共有多少个基本事件？并列举出来；

（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，多面体
的直观图及三视图如图所示，
分别为
的中点．

（1）求证：
平面
；

(2）求多面体
的体积．

20．（本小题满分12分）

已知数列
的各项均为正数，
是数列
的前n项和，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）
的值．

21．（本小题满分14分）

直线y＝kx＋b与曲线
交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）．

（1）求曲线的离心率；

（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；

（3）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

22.（本小题满分14分）

已知函数
(R)．

(1)当
时，求函数
的极值；

（2）若函数
的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．

4′

6′

（2）

=
8′

=
10′

由（1）得

12′

18.(理)（Ⅰ）解法一：依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且
．…………………………………… 2分

在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是

. ……………… 5分

解法二：在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是

　　　　　
.……………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且
.

设5月13日抵达灾区的队伍数为
，则
=0、1、2、3、4. ……………… 6分

由已知有：
；………………………………… 7分

；………………………… 8分

；………………… 9分

；……………………… 10分

. ………………………………………………… 10分

因此其概率分布为：

0

1

2

3

4



P













 ……………… 11分

所以在5月13日抵达灾区的队伍数
的数学期望为：

=0×
+ 1×
+ 2×
+ 3×
+ 4×
=
.

答：在5月13日抵达灾区的队伍数
的数学期望
=
. ……………… 12分

18．（文）解:（Ⅰ）共有
个基本事件，
，
，
，
，
，
，
,
，
，
，
，
，
，
,
，
，
，
，
，
,
，
，
，
，
,
，
，
，
,
，
，
,
，
,
，
………………6分

（Ⅱ）

，
,
，
，
,
，
，
，
,
，
，
,
，
,

. ………………12分

19.（1）证明：由多面体
的三视图知，三棱柱
中,底面
是等腰

直角三角形，
，
平面
,侧面
都是边长为的

正方形．连结
，则
是
的中点，

在△
中，
，

且
平面
，
平面
，

∴
∥平面
． ………………6分

（2） 因为
平面
，
平面
,

,

又
⊥
，所以，
⊥平面
，

∴四边形
是矩形,且侧面
⊥平面
……………8分

取
的中点



,
,且
平面
．………………10分

所以多面体
的体积
．………………12分

20．解（1）当n = 1时，
解出a1 = 3, （a1 = 0舍） ………………1分

又4Sn = an2 + 2an－3 ①

当
时 4sn－1 =
+ 2an-1－3 ②

①－②
, 即
，

∴
, ………………4分

（
），

是以3为首项，2为公差的等差数列，

． ………………6分

（2）
③

又
④

④－③

………………12分

21．解：（1）曲线的方程可化为：
，

∴此曲线为椭圆，
，

∴此椭圆的离心率
． ………………4分

（2）设点A的坐标为
，点B的坐标为
，

由
，解得
， ………………6分

所以

当且仅当
时， S取到最大值1． ………………8分

（3）由
得
，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

｜AB｜＝
②

又因为O到AB的距离
，所以
　 ③

③代入②并整理，得

解得，
，代入①式检验，△＞0 ，

故直线AB的方程是

或
或
或
． ………………14分

22. (本小题满分14分)

（2） ∵
=
，

∴△=
=
.

① 若a≥1，则△≤0， ……7分

∴
≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上单调递增 .

∵f（0）
，
,

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． ……9分

② 若a＜1，则△＞0，

∴
= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1

∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．

当变化时，
的取值情况如下表：

x



x1

（x1，x2）

x2







+

0

－

0

+



f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗



 ……11分

∵
,

∴
.

∴

.

同理

.

∴

.

令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞
．

而当
时,
, ……13分

故当
时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.

综上所述，a的取值范围是
． ……14分