2014年慈溪中学高考适应性考试

数学（文）试题

本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

球的表面积公式 柱体的体积公式

球的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

台体的体积公式

其中R表示球的半径

锥体的体积公式 其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，

h表示台体的高

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 如果事件A、B互斥，那么

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的。

1．已知集合为实数集，集合
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设是虚数单位，则复数
的虚部为（ ）

A．1 B．-1 C． D．

3．已知
，则“
”是“
”成立的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 若
为两个不同的平面，m、n为不同直线，下列推理:

①若
；

②若直线
；

③若直线m//n，
；

④若平面
直线n；

其中正确说法的序号是（ ）

A. ③④ B. ①④ C.①②③④ D. ①③④

5．已知函数
的图象与轴的两个相邻交点的距离等于
，若将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，则
是减函数的区间为 ( )

A．
B．
C．
D．

6．一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如右图所示，则该几何体的表面积和体积分别为 （ ）

A．
B．
和

C．
　　　　　 D．

7．设曲线
在点
处的切线的斜率为
，则函数
的部分图象可以为 （ ）

8．已知等差数列
的公差
，
且
成等比数列，若
是数列
的前n项和，则
的最小值为（ ）

A．4 B． 3 C．
D．

9．设
是双曲线
的左右两个焦点，若在双曲线右支上存在一点，使
(O为坐标原点)，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
　　　 B．
C．
　　 　D．

10．设x∈R，若函数
为单调递增函数，且对任意实数x，都有
（e是自然对数的底数），则
的值等于( )

A. 1 B．e+l C．3 D. e+3

二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．

11．在某个样本的频率分布直方图中，共有7个小矩形，已知最中间的一个矩形的面积是其他6个矩形面积的
，又知样本容量为80，则最中间一组的频数是__________

12．从集合
中随机选取一个数记为k，从集合
中随机选取一个数即为b，则直线
不经过第三象限的概率为_______________

13. 如右图，此程序框图的输出结果为__________

14. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
,则直线
被圆

所截得的弦长为 ．

15．已知
，
，则
的最小值为

16. 已知实数
满足
,且目标函数
的最大值为6,最小值

为1, 其中
的值为___________

17.在等边三角形ABC中，点P在线段AB上，满足
，若
,则实数的值为_____________

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或算步骤。

18. （本小题满分14分）

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知
，c=3.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为3，求cosC.

19．（本小题满分14分）

若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”。已知数列
：
，其中
为的整数部分，如：
。

求证：
为“亚等比数列”，并写出通项公式；

求
的前2014项和
。

20．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=
，AB=AA1 =2.E是BB1的中点，且CE交BC1于点P，点Q在线段BC上，CQ=2QB.

（Ⅰ）证明：CC1∥平面A1PQ；

（Ⅱ）若直线BC⊥平面A1PQ，求直线A1Q与平面BCC1B1的所成角的余弦值.

21．（本小题满分15分）

已知函数
　

（1）若
是函数
的极大值点，求函数
的单调递减区间；

（2）若
恒成立，求实数
的最大值．

22．（本小题满分15分）

已知直线
与抛物线
的切线平行．

（I）求切线的方程和切点的坐标；

（II）若点是直线
上的一个动点，过点作抛物

线
的两条切线，切点分别为、
，同时分别与切线交于点、．试问：
是否为定值？若是，则求之；若不是，则说明理由。

2013年慈溪中学高考适应性考试

数学（文）参考答案

选择题（每小题5分，共50分）

1-5: BAB D D 6-10： A AD C C

填空题（每小题4分，共28分）

（11）16 （12）
（13）
（14）

（15）9 （16） 4 （17）

解答题（本大题共5小题，共72分.）

18.解：（Ⅰ）由题，
，即有

由正弦定理得，
； ……………………………………………………7分

（Ⅱ）有
， ……………………………10分

利用
，解得
…………………………………13分

解得
. …………………………………14分

20．解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△BEP≌△C1CP，且E是BC的中点

∴
，∴PQ∥EB∥C1C，又PQ平面A1PQ，C1C平面A1PQ

∴CC1∥平面A1PQ； ………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）PQ∥C1C，∴PQ∥A1A ，∴BC⊥平面A1PQA，∴BC⊥AQ

又∵∠BAC=
，CQ=2QB，∴AC=
，AQ=
……8分

延长QP至与C1B1相交于点H,连接A1H, A1Q

∵C1C⊥AQ，∴AQ⊥平面BCC1B1，

又PQ∥A1A，且HQ= A1A ∴四边形A1AHQ是平行四边形

∴A1H∥AQ

∴A1H⊥平面BCC1B1，

∴直线A1Q与平面BCC1B1的所成角即为∠A1QH，…12分

∴cos∠A1QH=
. ……14分

21解：（1）
，

是函数
的极大值点，
，

函数
的单调递减区间为
．

（2）
恒成立，

恒成立，

即
恒成立，

令
，

在
上递增，
上递减，

，

，

令
，
，

在
上递增，在
上递减，
，
，

实数
的最大值为
．

22．解：（I）设切点
，切线斜率
，

,切线的方程为
……..3分

（II）设
，切点
，

∵
，∴切线
，
的方程分别是
，

联立方程组
得交点
，即

∵点在直线
上，即
，
………………7分

又∵直线
的方程为

∴点
到直线
的距离

又由
得

∴

∴
…………………………11分

又由联立方程组
得交点
，同理可得交点

∴
∴
…………………………………15分