佛山市南海区2014届高考数学（理科）题例研究

第一部分 （选择题 满分40分）

一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设a是实数，复数
，则实数a＝（ ）

A．
B．1 C．2 D．

2．设
，则“
”是“直线
：
与直线
：
平行”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知随机变量服从正态分布
，若
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

4．设、是两条不同的直线，、
是两个不同的平面，下列命题正确的是( )

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

5．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ( )

A． B．

C． D．

6．函数
的零点个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

8．设
是平面向量的集合，映射
：
满足
， 则对
，
，
，下列结论恒成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

第二部分 （非选择题 满分110分）

二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.）

（一）必做题（9~13题）

9．在等差数列
中，已知
，则
_________.

10．已知变量
满足
，若目标函数
（其中
）仅在点
处取得最大值，则a的取值范围是__________.

11．已知关于的二项式
的展开式的二项系数和为32，常数项为80，则a的值为_____.

12．已知函数
，则
_________.

13．已知直线
交抛物线
于A，B两点，若该抛物线上存在点C使得
为直角，则a的取值范围为____________.

（二）选做题：（考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线的参数方程为
（为参数），圆的极坐标方程为
，则直线与圆的位置关系为___________.

15．（几何证明选做题）如图，已知
△
的两条直角边
、
的长分别为

cm、cm，以
为直径作圆与斜边
交于点，则
的长为________cm.

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分12分）已知函数
（其中为正常数，
）的最小正周期为．

（1）求的值；

（2）在△
中，若
，且
，求
．

17．（本小题满分12分）一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q. 若第
次出现“○”，则记
；出现“×”，则记
，令

（I）当
时，记
，求
的分布列及数学期望；

（II）当
时，求
的概率.

18．（本小题满分14分）如图，四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，
和
是两个边长为的正三角形，
，
为
的中点，为
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（本小题满分14分）已知数列
的前项和
满足：
（为常数，且
）．

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）若
，设
，数列
的前项和为
．求证：
．

20．（本小题满分14分）一动圆与圆
外切，与圆
内切.

（I）求动圆圆心M的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过圆心
的直线
与轨迹相交于A、B两点，请问
（
为圆
的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线
的方程，若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）已知
，
，且直线
与曲线
相切．

（1）若对
内的一切实数，不等式
恒成立，求实数的取值范围；

（2）当
时，求最大的正整数
，使得对
（
是自然对数的底数）内的任意
个实数
都有
成立；

（3）求证：

．

佛山市南海区2014届高考数学（理科）题例研究

参考答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

C

D

A

B

C

A

C



8.【解析】C；不妨取
是两个互相垂直但模的大小不相等的两个向量，则可以判断出来。

二、填空题：

9．20 10．
11．2 12．
13．

14．相交 15．

三、解答题：

16．【解析】（1）∵

． ………………………4分

而
的最小正周期为，为正常数，∴
，解之，得
． ………6分

（2）由（1）得
．

若是三角形的内角，则
，∴
．

令
，得
，∴
或
，

解之，得
或
．

由已知，
是△
的内角，
且
，

∴
，
， ∴
． …………………………10分

又由正弦定理，得
． …………………………12分

17．【解析】（I）
的取值为1，3，又

……………………4分

∴ξ的分布列为 ………………………………5分

∴Eξ=1×
+3×
=
. ……………………………………………………………6分

（II）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知

若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；

若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.

故此时的概率为
……………12分

18．【解析】（1）证明：设为
的中点，连接
，则

∵
，
，
，

∴四边形
为正方形，

∵为
的中点，

∴为
的交点，

∵
， ∴
， …………………………………………………2分

∵

，

∴

，
，

在三角形
中，
，∴
， ………………………………4分

∵
，∴
平面
； ………………………………………………5分

(2)方法1：连接
，∵为
的中点，为
中点，

∴
，

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
. ……………………………………………………………………………9分

方法2：由(Ⅰ)知
平面
，又
，所以过分别做
的平行线，以它们做
轴，以
为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得：

，
，

，
，
，
，

则
，
，
，
.

∴
∴

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
； ……………………………………………………………………………9分

(3) 设平面
的法向量为
，直线
与平面
所成角，

则
，即
， ………………………………………………11分

解得
，令
，则平面
的一个法向量为
， …………………12分

又

则
，

∴直线
与平面
所成角的正弦值为
. ……………………………………………14分

19．【解析】（Ⅰ）由
，解得
. ……………………………………2分

当
时，有

，解得
，………………………………4分

∴
是首项为，公比为的等比数列． …………………………………………………5分

∴
. ………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）证明：∵
，∴
， ………………………………………………………7分

所以

， ……………………………………………………………9分

由
，
，得

， ………………………11分

所以

， ……………………………………12分

从而

．

即
． …………………………………………………………………………14分

20．【解析】（I）设动圆圆心为
，半径为．

由题意，得
，
，
． ………………………3分

由椭圆定义知
在以
为焦点的椭圆上，且
，

．

动圆圆心M的轨迹的方程为
． …………………………………………5分

（Ⅱ）如图，设
内切圆N的半径为，与直线
的切点为C，则三角形
的面积

当
最大时，也最大，
内切圆的面积也最大 ………………………………7分

设
、
(
),

则
………………8分

由
，得
，

解得
，
………………………………………10分

∴
，令
，则
，且
，

有
，令
，则

当
时，
，
在
上单调递增，有
，
，

即当
，
时，
有最大值
，得
，这时所求内切圆的面积为
，

∴存在直线
，
的内切圆M的面积最大值为
. ………………………14分

21．【解析】（1）设点
为直线
与曲线
的切点，

则有
． （*）

，
． （**）

由（*）、（**）两式，解得
，
． ……………………………2分

由
整理，得
，