嘉峪关市一中2014年高三适应性考试（一）

数学（理）试题

选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合
，则

A．
B．
C．
D．

2. 已知
（
），其中为虚数单位，则

A．
B． C．
D．

3. 已知函数
，则
，
，
的大小关系

A．
　　　　　 　　

B．

C．
　　　 　 　　

D．

4.某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）

（A）
，且

（B）
，且

（C）
，且

（D）
，且

5. 在平面直角坐标系中，
为坐标原点，直线
与圆
相交于
两点，
．若点
在圆
上，则实数

A．
B．
C．
D．

6. 如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是

A．
B．
C．
D．

7. 将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4， 5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有 （ ）

A．192 B．144 C．288 D．240

8. 已知点
与点
在直线
的两侧，且
， 则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9. 已知三棱锥
中，
，
，
，
，
，则三棱锥的外接球的表面积为

A.
B.
C.
D.

10. 已知
，且
，则下列结论正确的是 ( )

A．
B．
C．
D.

11.设为平面直角坐标系
中的点集，从中的任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为
，
，记点
的横坐标的最大值与最小值之差为
，点
的纵坐标的最大值与最小值之差为
. 若是边长为1的正方形，给出下列三个结论：

①
的最大值为
；②
的取值范围是
；

③
恒等于0.其中所有正确结论的序号是（ )

(A) ① （B）②③ （C）①② （D）①②③

12.设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，

定义
，若G是△ABC的重心，
则

A．点Q在△GAB内 B．点Q在△GBC 内

C．点Q在△GCA内 D．点Q与点G重合

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.二项式（1+sinx）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为
，则x在[0，2]内的值为 ．

已知
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线与左支交于

、两点，若
，
，则双曲线的离心率是 .

15．已知关于的方程
的两根分别为
、
，

且
，则
的取值范围是

.

16.对于下列命题：①函数
在区间
内有零点的充分不必要条件是
；②已知
是空间四点，命题甲：
四点不共面，命题乙：直线
和
不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“
”是“对任意的实数，
恒成立”的充要条件；④“
”是“方程
表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）已知等差数列
的各项均为正数，
，前项和为
，数列
为等比数列，
，且
，
.

(1).求
与
；

(2).记数列
的前项和为
，且

=
，求使

成立的所有正整数.

18．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：
,
,
，
，
，
．

（Ⅰ）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；

（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数
的分布列和数学期望．

19. (本小题满分12分）如图，在四锥棱
中，底面
为正方形，
平面
，已知
，为线段
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）已知动圆与圆
相切，且与圆
相内切，记圆心的轨迹为曲线
；设
为曲线
上的一个不在轴上的动点，
为坐标原点，过点
作
的平行线交曲线
于
两个不同的点.

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）试探究
和
的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记
的面积为
，
的面积为
，令
，求
的最大值.

21．（本小题满分12分）已知函数
，
满足
，且
，为自然对数的底数．

（Ⅰ）已知
，求
在
处的切线方程；

（Ⅱ）若存在
，使得

成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数
，
为坐标原点，若对于
在
时的图象上的任一点，在曲线

上总存在一点
，使得
，且
的中点在轴上，求的取值范围．

22.（本小题满分12分）已知曲线
的参数方程是
(为参数,
),直线
的参数方程是
(为参数),曲线
与直线
有一个公共点在轴上,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系.

(Ⅰ)求曲线
普通方程;

(Ⅱ)若点
在曲线
上,求
的值.

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：

A A A D C C D A B D D A

二、填空题：

13.
14．
14.
15.(-2,-1/2) 16．①②④

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，
，

，即
………………………………………………………………2分

，

所以
是公比为
的等比数列. …………………………………………………………5分

，
，

………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，所以
是以
为首项，以
为公比的等比数列；
是以
为首项，以
为公比的等比数列 …………10分

………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解:(1)设等差数列
的公差为
,等比数列
的公比为,则由题意可列方程组

…………………2分

把
,
代入上式解得
或

等差数列
的各项均为正数,

舍去

,
…………………5分

(2)由(1)可得

则



…+

=
(
+

…+

=
(+

=

…………………9分

=
〔

〕=
,即
=

,解得

…………………12分

18．解：（Ⅰ）
为奇函数；
为偶函数；
为偶函数；

为奇函数；
为偶函数;
为奇函数.

所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；

另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，

一个为偶函数;故基本事件总数为
.

满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为

故所求概率为
,

（Ⅱ）
可取1，2，3，4．
，

；

故
的分布列为

1

2

3

4

















的数学期望为

19．（本小题满分12分）

证明：(Ⅰ)连结
和
交于
，连结
， …………………………………………1分

为正方形，
为
中点，
为
中点，

，…………………………………………………………………………………3分

平面
，
平面

平面
．…………………………………………………………………………4分

(Ⅱ)