嘉峪关市一中2014年高三适应性考试（一）

数学（文）试题

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．已知是实数集，
，则
( )

A．
B．
C.
D．

2.复数满足
，则

A.
B.
C.
D.

3．给定命题p：函数
为偶函数；命题q：函数
为偶函数，下列说法正确的是( )

A．
是假命题 B．
是假命题

C．
是真命题 D．
是真命题

4．等差数列中，
，则该数列前13项的和是( )

A．13 B．26 C．52 D．156

5．在△ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a，b，c，且
则b等于

A．3 B．4 C．6 D．7

6．把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，连结AC，得到三棱锥C-ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为( )A． B． C．1 D．

7.已知直线
和直线
，抛物线
上一动点到直线
和直线
的距离之和的最小值( )

A.2 B.3 C.
D.

8在
中，D是AB中点，E是AC中点，CD与BE交于点F,

设
，则
为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知
，且关于的函数
在R上有极值，则向量
的夹角范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.设
是双曲线
的两个焦点,是
上一点,若
且
的最小内角为
,则
的离心率为( )

A.
B.
C.
D.

11．已知
都是定义在R上的函数，
，
，且

，且
，
．若数列
的前n项和大于62，则n的最小值为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

12．已知函数
（
）在
上的最大值为
，则函数
的零点的个数为

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13.在区间0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=
在区间[—1,1]上有且仅有一个零点的概率为 。

14．设x，y满足约束条件
，向量
，且a//b，则m的

最小值为 。

15. 边长为
的正△ABC内接于体积为
的球，则球面上的点到△ABC最大距离为

16. 已知奇函数
是定义在R上的增函数，数列
是一个公差为2的等差数列，且满足
.则
.

三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）

17．（本小题满分12分）

已知函数
,
的最大值为2．

（Ⅰ）求函数
在
上的值域；

(Ⅱ)已知
外接圆半径
，
，角
所对的边分别是
，求
的值．

18.（本题12分）如图，三角形
中，
，
是边长为的正方形，平面
⊥底面
，若、分别是
、
的中点．

（1）求证：
∥底面
；

（2）求证：
⊥平面
；

（3）求几何体
的体积．

19.（本题12分）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：

（1）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在
，
内的人数；

（2）若从分数在
内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在
内的概率．

20.（本题12分）

已知椭圆
：
（
）过点（2,0），且椭圆C的离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若动点在直线
上，过作直线交椭圆
于
两点，且为线段
中点，再过作直线
.求直线
是否恒过定点，若果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。

21．（本小题满分12分）

已知
为函数
图象上一点，O为坐标原点，记直线
的斜率
．

(Ⅰ)若函数
在区间

上存在极值，求实数m的取值范围；

(Ⅱ)设
，若对任意
恒有
，求实数的取值范围．

22．(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为
（a＞b＞0，为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M
对应的参数φ=
，
与曲线C2交于点D

（1）求曲线C1，C2的方程；

（2）A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+
）是曲线C1上的两点，求
的值。

23．(本小题满分l0分) 选修4—5：不等式选讲

已知关于x的不等式
（其中
）．（1）当
时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数的取值范围

 嘉峪关市一中2014年高三适应性考试（一）

数学（文）答案

1——12 1、D2、B3、B4、B5、B 6、B7、A 8、C 9、C 10、C 11、A12、C

二、填空题：每小题5分，共20分.

13.
14.
15.
16. 4009

三、解答题

17．（本小题满分12分）

解：（1）由题意，
的最大值为
，所以
．………………………2分

而
，于是
，
．…………………………………4分

在
上递增．在
递减，

所以函数
在
上的值域为
；…………………………………6分

（2）化简
得
．

由正弦定理，得
，……………………………………………9分

因为△ABC的外接圆半径为
．
．

所以
…………………………………………………………………12分

18、解：（I）解：取
的中点，连结
，（如图）

因为
分别是
和
的中点，所以
，
，

又因为
为正方形， 所以
，从而
，

所以
平面
，
平面
，
，

所以平面
//平面
，所以
//平面
. ------- 4分

（2）因为
为正方形，所以
，所以
平面
，

又因为平面
⊥平面
，所以
平面
，

所以
，又因为
，

所以
，因为
,

所以
平面
. ------- 8分

连结
，因为
，所以
，

又平面
⊥平面
，
平面
，所以
⊥平面
。

因为三角形
是等腰直角三角形，所以
，

因为
是四棱锥，所以
=
. ------- 12分

19.解：解析：（1）分数在
内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在
内同样有人． ------- 2分，

由
， 得
，

茎叶图可知抽测成绩的中位数为
．

分数在
之间的人数为

参加数学竞赛人数
，中位数为73，分数在
、
内的人数分别为人、人． ------- 6分

（2）设“在
内的学生中任选两人，恰好有一人分数在
内”为事件
，将
内的人编号为
；
内的人编号为
，

在
内的任取两人的基本事件为：



共15个 ------- 9分

其中，恰好有一人分数在
内的基本事件有




共8个，

故所求的概率得

答：恰好有一人分数在
内的概率为
------- 12分

20.解析：解：（Ⅰ）因为点
在椭圆
上，所以
，

所以
， ------- 1分

因为椭圆
的离心率为
，所以
，即
， ------- 2分

解得
， 所以椭圆
的方程为
. ------- 4分

（Ⅱ）设
，
，

①当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
，
，

由
得
，

所以
，

因为为
中点，所以
，即
.

所以
， ------- 8分

因为直线
，所以
，

所以直线
的方程为
，即
，

显然直线
恒过定点
. ------- 10分

②当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，

此时直线
为轴，也过点
.

综上所述直线
恒过定点
.------- 12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）由题意
，

所以
…………………………………………2分

当
时，
；当
时，
．所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故
在
处取得极大值．

因为函数
在区间
（其中
）上存在极值，

所以
，得
．即实数的取值范围是
． ……………4分

（Ⅱ）由题可知,
，因为
,所以
.当
时,
,不合题意.

当
时,由
,
可得
.………6分

设
,则.

设
，
.……………………………8分

(1)若
,则
，
，
，所以
在
内单调递增，又
所以
.所以
符合条件. ……………………………10分

(2)若
,则
,
,
,所以存在
,使得
,对.则
在
内单调递减,又
,所以当

时,
,不合要求.

综合(1)(2)可得
.…………………………………………12分

23.解：（1）将M
及对应的参数φ=
，
；代入
得
，所以
，所以C1的方程为
，设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x-R）2+y2=R2），将点D
代入得：∴R=1∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ（或（x-1）2+y2=1）--------5分

（2）曲线C1的极坐标方程为：
，将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+
）代入得：
，

所以

即
的值为