湖南省益阳市第一中学2014届高三第十次月考

数学试题（理科）

时间：120分钟，总分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1．若复数
是纯虚数，
是虚数单位，则
的值是 (　 　)

A．
B．
C．
D．

2. 已知随机变量
，且
，则
等于 (　 　)

A．
B
．
C．
D．

3．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．设实数
满足约束条件
且
的最小值为
，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知
为执行如图所示的程序框图输出的结
果，则二项式
的展开式中含
项的系数是（ ）

A．
B．
C．
D．
[来源:Z§xx§k.Com]

6．正方体
中，
为侧面
的中心，则
与平面
所成的角的正弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知函数
且
恒过点
，则
的解的个数为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．在
中，
，则角
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知双曲线
的两个焦点为
，其中一条渐近线方程为
，
为双曲线上一点，且满足
(其中
为坐标原点)，若
、
、
成等比数列，则双曲线
的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．给出下列命题：

① “
，使得
”的否定是“
，使得
”；

②
是向量
的夹角为锐角的充要条件；

③ 设
的内角
的对边分别为
，且满足
，

则
；

④ 记集合
，定义映射
，则从中任取一个映射满足“由点

构成
且
”的概率为
．

以上命题正确的个数为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，
考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．

（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．在极坐标系中，已知直线
的极坐标方程为
，圆
的圆心为
，半径为
，则直线
被圆
所截得的弦长为__________．

12．已知
，则实数
的取值范围是________．

13．如图，在
中，
，过
作
的外接圆的切线
，
于
，
与外接圆交于点
，已知
，则
的外接圆的半径为________.

（二）必做题（12～16题）

14．已知向量
且
，则
_______．

15．已知函数
在区间
的端点上恰取相邻一个最大值点和一个最小值点，则

（1）
的值为______；

（2）在
和
轴围成的矩形区域里掷一小球，小球恰好落在函数

与
轴围成的区域内的概率为__________．

16．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数
，如果
是偶数，就将它减半（即
）；如果
是奇数，则将它乘
加
（即
），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到
．如初始正整数为
，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：
，
，
，
，
，
，
，
，
．

（1）如果
，则按照上述规则施行变换后的第
项为_________；

（2）如果对正整数
（首项）按照上述规则施行变换后的第
项为
（注：
可以多次出现），则
的所有不同值的个数为________．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，请将解答过程写在答题卡的相应位置，要有必要的文字说明和演算步骤）

17．(本小题满分12分) 已知等比数列
的各项均为正数，
，
，

（1）求
的值及数列
的通项公式；

（2）是否存在等差数列
，使得
对任意
都成立？若存在，求出数列
的通项公式；若不存在，请说明理由．

18. (本小题满分12分）甲、乙、丙、丁、戊
名学生进行数学知识比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位同学去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．

（1）从上述回答分析，
人的名次排列可能有多少种不同的情况？

（2）比赛组委会规定，第一名获奖金
元，第二名获奖金
元，第三名获奖金
元，第四名及第五名没有奖金，求丙获奖金数的分布列及数学期望．

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

19．(本小题满分12分)如图①，直角梯形
中，
，
，
分别为边
和
上的点，且
，
．将四边形

沿
折起成如图②的位置，使
．

（1）求证：
平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．

20. (本小题满分13分）外国油轮（简称外轮）除特许外，不得进入离我国海岸线
海里以内的区域.如图所示，我国某海岛是由半径为
海里的一段圆弧
(
圆周)和线段
所围的区域（
、
、
分别位于圆心
的正西、正东和正北位置）.在
、
设有两个观察点，现发现在
点
处停有一外轮，并测得
，
.

(1)该外轮是否已进入我国领海主权范围内？

（2）该外
轮因故障向我方求助，我方停泊在
处的求助船紧急起航，首先沿正北方向
行驶一段至点
位置，再从
（“拐点”）向右拐头沿直线
前往出事点，记“拐角”
的大小为
.由于水域的原因，救助船沿
方向的行船最大速度是
方向行船最大速度的
倍.试确定
的值，使我方救助船到达
点的时间最短.

21.(本小题满分13分) 已知椭圆
的离心率为
，过其右焦点
作与
轴垂直的直线
与该椭圆交于
、
两点，与抛物线
交于
、
两点，且
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
，过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆于
、
两点，连接
、
分别交直线
于
、
两点. 试问直线
、
的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

22. (本小题满分13分) 已知函数
.

（1）若
，求
在点
处的切线方程；

（2）令

，
求证：在区间
上，
存在唯一极值点；

（3）令
，定义数列
：
，
. 当
且

时，求证：对于任意的
，恒有
.

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

益阳市第一中学2014年第十次月考[来源:学科网ZXXK]

高三数学试题（理科）参考答案

一．选择题（每小题5分，共50分）1---10 ADBCC DAAAC

二．填空题（本大题6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）

（一）选做题11．
12．
13．

（二）必做题14．
15．
；
16．（1）
（2）

三．解答题（本大题共6小题，共75分）

17.（12分） 解：（1）设
，则
，

，
，

．……5分

（2）存在等差数列
，使得
对任意