襄阳五中高三年级五月适应性考试（一）

数 学
试 题（理科）

命题：任 健 审题：杨青林 2014.5.3

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的的
四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数
（i是虚数单位）的共轭复数
在复平面内对应的点在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.设集合

A.
B.
C.
D.

3.设命题
平面
；

命题
函数
的图象关于直线
对称。则下列判断正确的是

A.
为真 B.

C.
为假 D.
为真

4．要得到一个奇函数，只需将
的图象[来源:学科网ZXXK]

A．向右平移
个单位　　　B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位　　　D．向左平移
个单位

5. 双曲线

的左、右焦点分别是
，过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
点，若
垂直于
轴，则双曲线的离心率为

(A)

(B)

(C)
(D)

6. 已知
是单位向量，
，若向量
满足
，则
的取值范围是[来源:Zxxk.Com]

A.
B.
C.
D.

7. 设
是正数,且
,
,
,则

A．
B．
C．
D．

8. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为
,
,
,
,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则

A.
B.

C.
D.

9.将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为
,则

A．
B．
C.
D．

10．已知
为常数，函数
有两个极值点
，则

A.
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置
上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

(一)必考题（11—14题）

11．
=_______.

12. 下图是一个算法的流程图，最后输出的

13. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的
价格进行试销,得到如下数据:

单价
(元)

8









9



销量

(件)

90

84

83

80

75

68[来源:Z。xx。k.Com]



由表中数据,求得线性回归方程为
.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为________________.

14.观察下列等式：

[来源:学科网]

……………………………………

，

可以推测，当
≥2（
）时，
，
.

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答
结果计分．）

15．（选修4-1：几何证明选讲）已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B，C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q. 若AQ=2AP，AB=

，BP=2，则QD

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系
中,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为
的直线与曲线
(
为参数)相交于
两点,则

三
、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. (本小题满分12分)

在
中,角
的对边分别为
,且
.

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 若
,
,求向量
在
方向上的投影.

18. （本小题满分12分）

已知数列
中，
，当
时，
.

(Ⅰ) 求数列
的通项公式；

(Ⅱ) 设
，数列
前
项的和为
,求证:
.

19．（本小题满分12分）

如图,四棱锥
的底面是正方形,
平面
,
,
，点
是
上的点,且
.

(Ⅰ)
求证: 对任意的
,都有
.

(Ⅱ)设二面角
的大小为

,直线
与平面
所成的角为
,若
,求
的值。

20. （本小题满分12分）

“蛟龙号”从海底中带回的某种生物,甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为
,乙组能使生物成活的概率为
,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的.

(Ⅰ) 甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率.

(Ⅱ) 如果乙小组成功了4次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.

(Ⅲ) 若甲乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为
,求
的分布列及数学期望.

21. （本小题满分13分）

在矩形
中,
，
,
分别为矩形四条边的中点,以
所在直线分别为
轴建立直角坐标系(如图所示).若
分别在线段
上,且
.

(Ⅰ) 求证: 直线
与
的交点
在椭圆
:
+
=1上;

(Ⅱ) 若
为椭圆
上的两点，且 GM与直线GN的斜率之积为
,
求证: 直线
过定点；并求
面积的最大值.

22. （本小题满分14分）

已知函数
,且
在
处的切线方程为

(Ⅰ) 求
的解析式；

(Ⅱ) 证明:当
时,恒
有

(Ⅲ)
证明:

若

且
则
.

[来源:Z§xx§k.Com]

襄阳五中高三年级五月适应性考试（一）

理科数学参考答案

一. CABCA ACDAB

二. 11.
12.
13.
14.
15.
16. 16

三、17. 解：
由
,得

,

即

,

则
,即
6分

由
,得
,

由正弦定理,有
,所以,
.

由题知
,则
,故
.

根据余弦定理,有
,

解得
或
(舍去).

故向量
在
方向上的投影为
12分

18. 解: (1) 当
时，

数列
是以
为首项,公比为
的等比数列 ……3分

…… 6分

(2)

…9分

=
…… 12分

19. 解：(Ⅰ)证法1:如图1,连接BE、BD,由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD.

SD⊥平面ABCD,
BD是BE在平面ABCD上的射影,
AC⊥BE 4分

(Ⅱ)解法1:如图1,由SD⊥平面ABCD知,∠DBE=
,

SD⊥平面A
BCD,CD
平面ABCD,
SD⊥CD.

又底面ABCD是正方形,
CD⊥AD,而SD
AD=D,CD⊥平面SAD.

连接AE、CE,过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F,连接CF,则CF⊥AE,

故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角,即∠CDF=
.

在Rt△BDE中,
BD=2a,DE=

在Rt△ADE中,

从而

在
中,
. w.w.w.zxxk.c.o.m

由
,得

.

由
,解得
,即为所求. 12分

证法2:以D为原点,
的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如

图2所示的空间直角坐标系,则

D(0,0,0),A(
,0,0),B(
,
,0),C(0,
,0),E(0,0
),

,w.w.w.zxxk.c.o.m

即
.

(I) 解法2:

由(I)得
.

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则由
得

.

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为
.

. w.w.w.zxxk.c.o.m

0<
,
,

.

由于
,解得
,即为所求.

20.(1)甲小组做了三次实验,至少两次试验成功的概率为

3分

(2)乙小组在第4次成功前,共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各种可能的情况种数
,

因此所求的概率
=
6分

(3)由题意
的取值为0,1,2,3,4

+

10分

故
的分布列为

0

1

2

3

4



P















12分

21.解:(Ⅰ)∵
,∴
,

又
则直线
的方程为
①

又
则直线
的方程为
②

由①②得

∵

∴直线
与
的交点
在椭圆
上 3分

(Ⅱ)①当直线
的斜率不存在时,设

不妨取
∴
,不合题意

②当直线
的斜率存在时,设

联立方程
得

则

又

即

将
代入上式得

解得
或
(舍)

∴直线过定点
8分

∴
,点
到直线
的距离为

∴

由
及
知:
,令
即

∴
当且仅当
时,
13分