湖南省益阳市箴言中学2014届高三第十次模拟考试 数学（理）

祝同学们考试顺利！

1.已知
（为虚数单位），复数Z的共轭复数为（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示，则该样本的方差为（ ）

A.25 B.24 C.18 D.16

3．已知命题
，使
为偶函数；命题：函数
在
上单调递减，则下列命题为真命题的是( )

A.
B.
C.
D.

4. 设
满足约束条件
，若目标函数
（
，
）的最大值为12，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 运行如图1的程序图，则输出s的结果是( )

A.
B.
C.
D.

6. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为矩形内一点，且AP＝.

若
(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为 (　　)

A. B. C. D.

8．设
分别是椭圆
的左、右焦点，点在椭圆
上，线段
的中点在轴上，若
，则椭圆
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 已知函数

，若函数
有三个零点，则实数k的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.定义域为[a,b]的函数
的图像上两点
，
是
图像上任意一点，其中
，已知向量
，若不等式
对任意的
恒成立，则称函数
在
上的“
阶线性近式”，若函数
在
上“
阶线性近似”，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B.
C.
D.

二．填空题：

（一）选作题：（请在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做按前两题计分）

11.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为
，则点A(2，
)到这条直线的距离为 .

12.（不等式选将选作题）已知正数x, y, z满足x+2y+3z=1, 则
的最小值为 ．

13. （几何证明选讲）如图：
是圆O的切线，切点为，
交圆于
两点，且
则
的长为 .

（二）必做题（14～16题）

14. 二项式
的展开式的第二项的系数为12，则

15. 数列
的前n项和为
，则
.

16. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其

中
，
，
，若A、B、C中的元素满足条件：
，
，
1,2，…，，则称
为“完并集合”.

（1）若
为“完并集合”，则的取值集合为 .

（2）对于“完并集合”
，在所有符合条件的集合中，其元素乘积最小的集合是 .

三．解答题：本大题6个小题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 在
中，角，，
对应的边分别是，
，．已知
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
的面积
，
，求
的值．

18. 在一次数学测验后，班级学习委员王明对选做题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）

几何证明选讲

坐标系与参数方程

不等式选讲

合计



男同学

12

4

6

22



女同学

0

8

12

20



合计

12

12

18

42



（Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）

几何类

代数类

总计



男同学

16

6

22



女同学

8

12

20



总计

24

18

42



据此判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？

（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学习委员王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．

①求在这名班级学习委员被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；

②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．

下面临界值表仅供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考公式：
.

19. 在斜三棱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥面ABC，AA1=a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA1中点。

（1）求证：CD⊥面ABB1A1；

（2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E-A1C1-A的大小为.

20. 随着我国新型城镇化建设的推进，城市人口有了很大发展，生活垃圾也急剧递增。据统计资料显示，到2013年末，某城市堆积的垃圾已达到
万吨，为减少垃圾对环境污染，实现无害化、减量化和再生资源化，该市对垃圾进行资源化和回收处理。

（1）假设2003年底该市堆积的垃圾为
万吨，从2003年底到2013年底这十年中，该市每年产生的新垃圾以
的年平均增长率增长，试求2013年，该市产生的新垃圾约有多少吨？

（2）根据预测，从2014年起该市还将以每年
万吨的速度产生新的垃圾，同时政府规划每年处理上年堆积垃圾的
，现用
表示2014年底该市堆积的垃圾数量，
表示2015年底该市堆积的垃圾数量，…，
表示经过年后该城市年底堆积的垃圾数量。

① 求
的值和
的表达式；

②经过多少年后，该城市的垃圾数量可以控制在30万吨的范围内。

（结果精确到
，参考数据：
）

21. 在平面直角坐标系
中，已知
分别是双曲线
的左、右焦点，双曲线
与抛物线
有一个公共的焦点，且过点

(Ⅰ)求双曲线
的方程;

(Ⅱ) 设直线
与双曲线
相切于第一象限上的一点,连接
,设
的斜率为
,直线
的斜率分别为
,试证明
为定值,并求出这个定值；

（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作
，设
交
于点
，证明:当点在双曲线右支上移动时，点
在一条定直线上.

22.已知函数
的定义域为
，对定义域内的任意x，满足
，当
时，
（a为常数），且
是函数
的一个极值点，

(I)求实数的值；

(Ⅱ)如果当
时，不等式
恒成立，求实数的最大值；

（Ⅲ）求证：

理科数学参考答案

1——5 CDDAB；6——10 CBDAC

11.
12.18 13.
14. 3 15.
16.①
，②

三．解答题：

17．(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，

解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因为0

(2)由S＝bcsin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝.

又由正弦定理得sin Bsin C＝sin A·sin A＝sin2A＝×＝.…………12分

18. 解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k≈4.582>3.841.…2分

所以，据此统计可在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关． ……4分

（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．

①方法一：令事件A为“这名班级学习委员被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P(A∩B)
，P(A)
.所以P(B|A) 
 . ……7分

方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，

则P(C)
.

②由题知X的可能值为0，1，2.

依题意P(X0)
；P(X1)
；P(X2)
.

从而X的分布列为

X

0

1

2



P









 ……10分

于是E(X) 0×＋1×＋2×. ……12分

19. 解：（1）【证】∴面ACC1A1⊥面ABC，AB⊥AC

∴AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；

又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1 ∴CD⊥面ABB1A1………6′

（2）【解】如图所示以点C为坐标系原点，CA为x轴，过C点平行于AB的直线为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，则有A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a), B1(0,a,a)

C1(-a,0,a)，设
，且
，即有

所以E点坐标为
由条件易得面A1C1A的一个法向量为

设平面EA1C1的一个法向量为
，

由
可得

令y=1，则有
………9′

则
，得
………11′

∴当
时，二面角E-A1C1-A的大小为
………12′

20. 解：（1）设2004年该城市产生垃圾为万吨，依题意得：

，…………2分

，
（万吨）………4分

所以2013年该城市产生的新垃圾为
（万吨）；…………5分

（2）（ⅰ）
（万吨）；…………6分

（ⅱ）

，
……7分

所以

………9分

，
，…………10分

是的减函数，………12分

所以
时，该城市垃圾堆积量会少于30万吨，

所以4年后该城市垃圾量可以控制在30万吨内。…………13分

21. （Ⅰ）解：依题意得
，
，
，………2分

所以双曲线方程为
……………3分

（Ⅱ）设
，
，
，代入双曲线方程得：

，依题意得
，
，，
，
………6分

，
（定值）………8分

（Ⅲ）
，
……①，
……②，

所以由①②得

，
,
，
，所以点
恒在定直线
上。…………13分

22. 解：（Ⅰ）对定义域内的任意x，满足
，所以
为奇函数，

当
，

当
时，
，
，
，

经检验，
符合题意。……………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，当
时，

令
，
，

令
，
，所以
在
上是增函数，

，