湖南省益阳市第一中学2014届高三第十次月考

数学试题（文科）

时间：120分钟
，总分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1．已知集合
，
，则
(　 　)

A．
B．

C．

D．
或

2. 设
,
是纯虚数，其中
是虚数单位，则
(　 　)

A．
B．
C．
D．

3．直线
、
平行的一个充分条件是(　 　)

A．
、
都平行
于同一个平面 B．
、
与同一个平面所成的角相等

C．
平行于
所在的平面 D．
、
都垂直于同一个平面

4.下列命题中正确
的是（ ）

A．若
，则

B．若
为真命题，则
也为真
命题

C．命题“若
，则
”的否命题为真命题

D．“函数
为奇函数”是“
”的充分不必要条件

5．运行右边的程序，如果输入的
是
，那么输出的
是（ ）

A．

B．

C．

D．


[来源:学科网]





















6．已知
的取值如下表：

从上表可以看出
与
线性相关，且回归方程为
，则
(　 　)

A．
B．
C．
D．

7．设
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

9．椭圆
的左、右顶点分别是
、
，左、右焦点分别是
、
．若
成等比数列,

则此椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．函数
，当
时，

恒成立，则
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题
5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．

11．在区间
内随机地取出两个数，则两数之和小于
的概率是_______．

12．若直线
与曲线
为参数）相交于
、
两点，则
　 ．

13．已知函数
在
内可导，且满足
，则
在点
处的切线方程为__________________．

14．实数
满足
，若
恒成立，则实数
的最大值是 ________．

15．已知

（1）根据以上等式，猜想出一般的结论是_________________________________________；

（2）若数列
中，
的前
项和
，则
________．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，请将解答过程写在答题卡的相应位置，要有必要的文字说明和演算步骤）

16. (本小题满分12分）

高三某班有男生
人，在高考体检中被平均分成
个小组，第一组和第二组学生身高（单位：
）的统计数据用茎叶图表示（如图）.

（1）求第一组学生的身高的平均值和方差；

（2）从身高超过
的
位学生中随机选出
位学生参加校篮球队集训，求这
位学生在同一组的概率．

17．(本小题满分12分)

如图，在三棱锥
中，
是等边三角形，
、
分别为
、
的中点．

（1）若点
在
边上，
，则实数
为何值时，
平面
；

（2）若
，求三棱锥
的体积．

18．(本小题满分12分)

已知向量
，函数
．

（1）若
，求
的值；

（2）在
中，角
、
、
的对边分别是
、
、
，且满足
，求
的取值范围．

19．(本小题满分13分)

已知正项等比数列
是递增数列，且满足
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，数列
的前
项和为
，求
．

20. (本小题满分13分）

已知椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）过点
的直线
交椭圆
于
、
两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点
，使得以
为直径的圆恒过点
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

21. (本小题满分13分)

已知函数
为自然对数的底数
．

（1）求函数
的单调区间；

（2）当
时，若方程
只有一解，求
的值；

（3）若对任意的
，均有
，求
的取值范围．

益阳市第一中学2014年第十次月考

高三数学试题（文科）参考答案[来源:学#科#网]

一．选择题1--
-10 ABDCB DADBA

10、解析：
在
上恒成立

，作出可行域，
，利用几何意义，数形结合知

，即
时，
取最大值为
．

二．填空题

11．
12．
13．
14．

15．（1）
； （2）

三．解答题

16. 解：（1）
，……3分

……6分

（2）
……12分

17．（1）当实数
时，
平面
．证明略……6分

（2）
，

，连接

，又
，

平面
……8分

，

由余弦定理得，
，

，又

……12分

18．
……2分

（1）由
，得
，……4分

则
……6分

（2）由
得
，即
……8分

，得
，从而
……10分[来源:学|科|网Z|X|X|K]

，即
的取值范围是
．……12分

19．（1）

，

或
（舍去），

，
……6分

（2）由（1）得
，则

①

②

①-②得

20．解：（1）
，所以椭圆的方程为
……5分

（2）当
与
轴平行时，
，从而以
为直径的圆的方程为
①

当
与
轴垂直时，
，从而以
为直径的圆的方程为
②

联立①②得，
，即两圆相切于点
，因此所求的
点如果
存在，只能是
……8分

事实上，
就是所求的点，证明如下：

当直线
与
轴垂直时，以
为直径的圆过点

，

当直线
与
轴不垂直时，设
的方程为
，由
消去
得

，设点
，则
，

又
……10分