福建泉港一中2014年5月高三考前围题卷

高三数学（理）

参考公式：

第I卷 (选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，则
为( ).

（A）（1，2） （B）
（C）
（D）

2.设是虚数单位，若复数满足
，则
( ).

（A）
（B）
（C）
（D）

3.命题“对任意
，均有
”的否定为( ).

（A）对任意
，均有
（B）对任意
，均有

（C）存在
，使得
（D）存在
，使得

4.函数
的图象大致是( )

5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ）

A . 6 B. 5 C . 8 D. 7

6.已知等比数列
的各项都是正数，且
成等差数列，则
( ).

（A）
（B）
（C）
（D）

7.已知向量
若
则
的值为( ).

（A）
（B）
（C）
（D）

8. 如图，已知
为△
内部（包括边界）的动点，若目标函数
仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是（ ）



（A）
（B）

（C）
（D）

9.若在区间
和
内各取一个数，分别记为和
，则方程
表示离心率小于
的双曲线的概率为( ).

（A）
　　　　（B）
　　　　（C）
　　　　（D）

10.若定义在区间
上的函数
满足：对于任意的
，都有
，且
时，有
，
的最大值、最小值分别为
，则
的值为( ).

（A）2014 （B）2015 （C）4028 （D）4030

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

11. 设
，则二项式
展开式中的
项的系数为

12.
依此类推，第个等式为　　　　　　　　　.

13.如图，在直角梯形
中，
，
，
，是线段
上一动点，
是线段
上一动点，
，则
的取值范围是 ．

14．设双曲线
的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若
，则该双曲线的离心率为

15.一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如下，
、分别为
、
的中点.



下列结论中正确的是_________.（填上所有正确项的序号）

线
与
相交；②
；③
//平面
；

④三棱锥
的体积为
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. (本题满分13分)

在△
中，
，
.

(1)求
的值；

(2)求
的值．

17. (本题满分13分)

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为．其范围为
，分别有五个级别：
畅通;
基本畅通;
轻度拥堵;
中度拥堵；
严重拥堵．在晚高峰时段(
)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．

(1)在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？

(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．

18. (本题满分13分)

如图所示，四边形
为直角梯形，
，
，△
为等边三角形，且平面
平面
，
，为
中点．



（1）求证：

；

（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值；

（3）在△
内是否存在一点
，使
平面
，如果存在，求
的长；如果不存在，说明理由．

19. (本题满分13分)

已知
是抛物线
上的两个点，点的坐标为
，直线
的斜率为
.设抛物线的焦点在直线
的下方.

（1）求
的取值范围；

（2）设
为
上的一点，且
，过
两点分别作
的切线，记两切线的交点为. 判断四边形
是否为梯形，并说明理由.

20.（本题满分14分）

已知函数
，其中为实常数.

（1）若
在
上恒成立，求的取值范围；

（2）已知
，
是函数
图象上两点，若在点
处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；

（3）设定义在区间上的函数
在点
处的切线方程为
，当
时，若
在上恒成立，则称点为函数
的“好点”．试问函数
是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知二阶矩阵M=
有特征值1=2及对应的一个特征向量
.

（Ⅰ）求矩阵
；

（II）若
，求
．

(2) （本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(2，0)是两个定点，曲线C的参数方程

为
（
为参数）．

(I)将曲线C的参数方程化为普通方程；

(II)以A(1，0)为极点，|
|为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

(3) （本小题满分7分）选修
：不等式选讲

（I）试证明柯西不等式：

（II）已知
，且
，求
的最小值．

参考答案

一、选择题

1.Ａ
，
，则
．

2.C
.

3.C 因为全称命题的否定为特称命题，所以“对任意
，均有
”的否定为“存在
，使得
”.

4.A 因为
，

所以函数
是偶函数,其图象关于轴对称应排除B、D；

又因为当
时,
,
,
，

所以选A.

5.D

6.C 因为
成等差数列，所以
，即
，解得
，
．

（A）
（B）
（C）
（D）

7.C ∵

,又因为
,故
,所以
.

8.B 由
可得
，表示这条直线的纵截距，直线
的纵截距越大，就越大，依题意有，
，
，要使目标函数
仅在点处取得最大值，则需直线
的斜率处在
内，即
，从而解得
.

9.B 由题意知横轴为，纵轴为
，建立直角坐标系，先作出满足题意的、
的可行域
并求出其面积为
，又由双曲线的离心率小于
得
，则
，即
，再作出虚线
，并求出其在可行域内的端点坐标分别为
、
，由此可求出可行域范围内满足
的面积为
，所以所求概率为
.

10.C 令
，得
，再令
，将
代入可得
.

设
，
，则
，所以
.又因为
，所以可得
，所以函数
是递增的，所以
.又因为
，所以
的值为4028.

填空题

11.

12. 2n×1×3×……(2n-1)=(n+1)·…(2n-1)·2n

13.
建立平面直角坐标系如图所示，则
．

因为
，所以
，

所以
，

,

所以

14.

15.②③④ 取
的中点D，连结
、
.由于
、分别是所在棱的中点，所以可得
平面
,
平面
,所以
平面
.同理可证
平面
.又
,所以平面

平面
,所以直线
与
相交不成立，①错误；由三视图可得
平面
.所以
平面
，所以
，又易知
，所以
平面
，所以

，②正确； ③正确；因为

，所以④正确.综上，②③④正确.

三、解答题：

16.

解：（1）因为
，所以

所以