福建省永安市2014年5月高三质量检查试卷

文科数学

参考公式：

柱体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

锥体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

球的表面积、体积公式：
，
，其中为球的半径.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ）

1．复数
（i是虚数单位）,则复数Z在复平面内对应的点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合
，则集合A∩B=( )

A．｛0｝ B．｛1，2，3｝ C．｛0，1｝ D．｛1｝

3．“
”是“
”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 已知向量
=（x，1），
=（3，6），若

，则实数的值为 （ ）

A．
B．
C． D． -

5. 一算法的程序框图如右图所示，若输出的
，

则输入的ｘ可能为( )

Ａ.－１　 Ｂ.０　 Ｃ.１　 Ｄ.５

6．若直线
不平行于平面，且
，则( )

A.内的所有直线与
异面 B.内存在唯一的直线与
平行

C．内不存在与
平行的直线 D.内的直线与
都相交

7．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于( )

A． B． C．
Ｄ.4

8．设
是等差数列
的前项和，公差
， 若
，则正整数
的值为( )

A．
B．
C． D．

9．在△
中，
，
，
，

则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

10．设
分别是椭圆
的左、右焦点，点在椭圆
上，线段
的中点在轴上，若
，则椭圆
的离心率为( )

A．
B．
C．
D．

11．现有四个函数：①
；②
；③
；④

的图象（部分）如下：则按照从左到右的顺序，图象所对应的函数序号安排正确的一组

是（ ）

A．①④②③ B．①④③②　 C．④①②③　 D．③④②①

12. 设函数
的定义域为，对于任意
、
，当
时，恒有

，研究函数
可得到

的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．

13. 已知四边形
是边长为
的正方形，若
， 则
的值为 .

14．．若变量x，y满足
则x＋2y的最大值为

15. 在区间
上随机取一实数，使得
的概率为

16.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间
对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）。那么原闭区间
上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后（
），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为_________。

三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数
，
R .

(Ⅰ） 求函数
的最小正周期和值域；

(Ⅱ）若
，且
，求
的值.

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人玩掷骰子游戏：甲先掷一个骰子，记下向上的点数；然后乙再掷，同样记下向上的点数.如果两人所掷点数之和为偶数则甲胜，否则乙获胜.

(Ⅰ）求甲胜且点数之和为6的事件发生的概率；

(Ⅱ）这种游戏规则公平吗？用你所学的知识说明理由.

19．（本小题满分12分）

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
.

(Ⅰ）设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；

(Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

20．（本小题满分12分）

如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90o，∠BCD=45o， E为对角线BD中点.现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD,如图2.

(Ⅰ)若点F为BC中点，证明：EF∥平面PCD；

(Ⅱ)证明：平面PBC⊥平面PCD；

(Ⅲ)已知空间存在一点Q到点P,B,C,D的距离相等，写出这个距离的值（不用说明理由）.

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
R .

(Ⅰ）若函数
在其定义域上为增函数，求的取值范围；

(Ⅱ）当
时，函数
在区间


N

上存在极值，求的最大值.

( 参考数值: 自然对数的底数≈
)

22．（本小题满分14分）

过点
的直线
与抛物线
：
相交于
两点，过点
分别作轴的垂线交直线
：
于点
．

(Ⅰ）若四边形
是等腰梯形，求直线
的方程；

(Ⅱ）若
，
，三点共线，求证：
与轴平行；

(Ⅲ）若对于任意一个以
为直径的圆，在直线
上总存在点
在该圆上，求实数的取值范围．

福建省永安市2014年5月高三质量检查试卷

文科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

A

B

C

 C

B

A

D

A

A

D





二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．

13．
14．11 15．
16．
（这里
为
中的所有奇数）；

三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

（1）解：∵
，

∴ 函数
的最小正周期为
. …………2分

∵
R，
， ………3分

∴
. …………4分

∴ 函数
的值域为
. …………5分

（2）解法1：∵
，

∴
. ……………6分

∴
. ……………7分

∴
……………9分

……………11分

. ……………12分

解法2：∵
，

∴
. ……………6分

∴
. ……………7分

∴
. ……………8分

两边平方得
. ……………10分

∴
. ……………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设“甲胜且点数的和为6”为事件，甲的点数为,乙的点数为

则
表示一个基本事件. 两人掷骰子的结果包括（1，1），（1，2），…，（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，1），…，（6，6）共36个基本事件； ………2分

事件包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3）（4，2），（5，1）共5个……4分

所以

所以，甲胜且点数之和为6的概率为
……………6分

(Ⅱ）这种游戏公平. ……………7分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C.甲胜即两个点数的和为偶数.

所包含基本事件为以下18个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3）（5，5），

(6，2），（6，4），（6，6） ……………9分

所以甲胜的概率为
……………10分

乙胜的概率为
……………11分

所以这种游戏是公平的 ……………12分

19．（本小题满分12分）

解. (1)第1年投入为800万元， 第2年投入为800×(1－
)万元，

第n年投入为800×(1－
)n－1万元，所以，n年内的总投入为.

an=800+800×(1－
)+…+800×(1－
)n－1=
800×(1－
)k－1=4000×［1－(
)n］ ……………3分

第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×(1+
)，

第n年旅游业收入400×(1+
)n－1万元. 所以，n年内的旅游业总收入为

bn=400+400×(1+
)+…+400×(1+
)k－1=
400×(
)k－1=1600×［(
)n－1］ ………6分

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，

即1600×［(
)n－1］－4000×［1－(
)n］＞0， …………8分

令x=(
)n，代入上式得. 5x2－7x+2＞0. ……………10分

解此不等式，得x＜
，或x＞1(舍去).

即(
)n＜
，由此得n≥5. ……………11分

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入 ……………12分

20．（本小题满分12分）

解析：(Ⅰ)在△BCD中，点E、F分别为BD、BC的中点

∴EF∥CD ....................2分

又

∴EF∥平面PCD ....................4分

(Ⅱ) 在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90o，∠BCD=45o，

∴CD⊥BD ....................5分

因为平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD=BD，
，

∴CD⊥平面PBD ....................6分

∴CD⊥PB ....................7分

∵PB⊥PD PD∩CD=D

∴PB⊥平面PCD ....................8分

又

∴平面PBC⊥平面PCD ....................9分

(Ⅲ) 1 ............12分

21．（本小题满分12分）

（1）解法1：函数
的定义域为
,

∵
， ∴
. ……………1分

∵ 函数
在
上单调递增，

∴
, 即
对
都成立. ………2分

∴
对
都成立. ………3分

当
时,
, 当且仅当
, 即
时,取等号.…4分

∴
, 即
.

∴的取值范围为
. ……………5分

解法2：函数
的定义域为
,

∵
， ∴
.……………1分

方程
的判别式
. ……………2分

1.当
, 即
时,
,

此时,
对
都成立,

故函数
在定义域
上是增函数. ……………3分

2.当
, 即
或
时, 要使函数
在定义域
上为增函数, 只需
对
都成立.

设
, 则
得
.

故
. ……………4分

综合①②得的取值范围为
. ……………5分

（2）解：当
时,
.

. ……………6分

∵ 函数
在


N

上存在极值，

∴ 方程
在