一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.下面是关于复数
的四个命题其中的真命题为 ( ? ? )

,
,
的共轭复数为1+i?,
的虚部为-1

A.
B.
C.

D.

3．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )

A、
B、
C、
D、

5.已知
的展开式中
的系数是10，则实数
的值是（ ）

A．1 B．
C．
D．

6．如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（ ）

A．1 B.2 C．3 D.4

7. 设f(x)＝
，则不等式f(x)＜2的解集为( )

A．(
，＋∞) B．(－∞，1)∪[2，
)

C．(1,2]∪(
，＋∞
) D．(1，
)

8．椭圆
=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（　　）

A．7倍 B．
5倍 C．4倍 D．3倍

9．已知函数y＝x3-3x+c的图像与
x轴恰有两个公共点，则c＝( )

A．-2或2 B．-9或3 C．-1或1 D．-3或1

10. 已知函数
，下列结论中错误的是（ ）

A．
的图像关于点
中心对
称

B．
的图像关于直线
对称

C．
的最大值为


D．
既是奇函数，又是周期函数[来源:学_科_网]

11.已知双曲线
,
为实轴顶点,
是右焦点,
是虚轴端点,若在线段
上(不含端点)存在不同的两点
,使得
构成以
为斜边的直角三角形,则双曲线离心率
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

12．若函数
满足
，当x∈[0，1]时，
，若在区间(-1，1]上，
有两个零点，则实数m的取值范围是( )

A．0

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.平面向量
与
的夹角为
，
，
 则
_______.

14．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为

15．已知三棱锥
中，
，
，
，
，
，则三棱锥的外接球的表面积为

16．在
中，角A
、B、C所对的边分别为a，b，c，S表示
的面积，若
=
=

三、解答题

17.（12分）设
为等差数列
的前
项和，已知
.

（1）求
；

（2）设
，数列
的前
项和记为
，求
.

18. （12分）在如图的几何体中，四边形
为正方形，四边形
为等腰梯形，
∥
，
，
，

．

（1）求证：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（12分）某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：



（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望．

20．（12分）设抛物线
：
的焦点为
，准线为
，过准线
上一点
且斜率为
的直线
交抛物线
于
，
两点，线段
的中点为
，直线
交抛物线
于

，
两点．

（1）求抛物线
的方程及
的取值范围；

（2）是否存在
值，使点
是线段
的中点？若存在，求出
值，若不存在，请说明理由．

21.（12分）设函数f(x)=x2+aln(x+1)

(1)若函数y=f(x)在区间[1,+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；

(2)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2且x1

22．（10分）已知
为半圆
的直径，
，
为半圆上一点，过点
作半圆的切线
，过
点作
于
，交半圆于点
，
．

（1）求证：
平分
；

（2）求
的长．

23．（10分）已知圆
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数），点
的极坐标为
，设直线
与圆
交于点
、
.[来源:学#科#网Z#X#X#K]

（1）写出圆
的直角坐标方程；

（2）求
的值.

24．（10分）函数
．

（1）若
，求函数
的定义域
；

（2）设
，当实
数
，

时，求证：
．

数学理科

17.（1）设数列
的公差为
，由题得
3分

解得
，
5分

∴

6分

（2）由（1）得，
8分

∴
10分

∴

12分

19.（1）众数：8.6；中位数：8.75 ；

（2）设
表示所取3人中有
个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件
， 则
 ；

（3）
的可
能取值为0，1，2，3.

；
；

；
.

的分布列为：




































.

另解：
的可能取值为0，1，2，3,则
，因此
.

有
；
；

；
.

的分布列为：


































所以
=
．

20.（1）由已知得
，∴
．∴抛物线方程为
． 2分

设
的方程为
，
，
，
，
，

由
得
． 4分

，解得
，注意到
不符合题意，

所以
． 5分

（2）不存在
值，使点
是线段
的中点．理由如下： 6分

有（1）得
，所以
，所以
，
，直线
的方程为
． 8分

由
得
，
． 10分

当点
为线段
的中点时，有
，即
，因为
，所以此方程无实数根．因此不存在
值，使点
是线段
的中点． 12分

21.解：（Ⅰ）
在区间
上恒成立，

即
区间
上恒成立， …………………1分

.………………3分

经检验， 当a＝- 4时，
，
时，
，

所以满足题意的a的取值范围为
.………………4分

（Ⅱ）函数的定义域
，
，依题意方程
在区间
有两个不等的实根，记
，则有
，

得
.……………………6分

，
，
，

，令

……………………8分

，
，
,

因为
，存在
，使得
，











-

0

+





，
，
，所以函数
在
为减函数，

…………………10分

即
……………………12分

法二6分段后面还有如下证法，可以参照酌
情给分.

,

，
，
,

∴
，
在
为增函数．

．

综上可得
成立．………………………12分

23【答案】（1）
；（2）
.

【解析】

试题分析：（1）在极坐标方程
的两边同时乘以
，然后由
，
即可得到圆
的直角坐标方程；（2）将直线
的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去
、
得到有关
的参数方程，然后利用韦达定理求出
的值.

（1）由
，得

，
，

即
，

即圆
的直角坐标方程为
；

（2）由点
的极坐标
得点
直角坐标为
，

将
代入
消去
、
，整理得
，

设
、
为方程
的两个根，则
，

所以
.

考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理

24.【答案】（1）
≤
或
≥
;（2）参考解析

【解析】

试题分析：（1）由
，绝对值的零点分别为-1和-2.所以通过对实数分三类分别去绝对值可求得结
论.

（2）由（1）可得定义域A.又
，当实数
，

，所以可以求得实数