2013---2014学年度下学期高三第二次统一考试

数学试题(理科)

参考答案及评分标准

一.选择题:每小题5分,总计60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

D

A

A

D

D

C

C

A

A



二.填空题:每小题5分,总计20分.

13. 32014

14. (1-()n)



15. (1,2)

16.π



三.解答题:

17.解：f(x)=2cosx(3sinx-cosx)- sin(2x+)+1=3sin2x-2cos2x-sin2x-cos2x+1

2sin2x-2cos2x=2sin(2x-) …………… …4分

（1）令2kπ-≤2x-≤2kπ+

解得：kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z

∴f(x)的单调递增区间为[kπ-，kπ+π]，k∈Z …………… …8分

（2）∵≤x≤ ∴≤2x-≤

∴-≤sin(2x-)≤1 ∴-2≤2sin(2x-)≤2

∴fmin(x)=-2,fmax(x)= 2 ………………12分

18.(本小题满分12分)

（1）证明：连接BD，设BD∩CE=O

易证：△CDE∽△BCD ∴∠DBC=∠ECD

∵∠DBC+∠BDC=90( ∴∠ECD +∠BDC=90(

∴∠COD=90( ∴BD⊥CE………………………2分

（用其它方法证出BD⊥CE，同样赋分）

∵△SAD为正三角形，E为AD中点

∴SE⊥AD

又∵面SAD⊥面ABCD，且面SAD∩面ABCD=AD

∴SE⊥面ABCD ∵BD(面ABCD ∴SE⊥BD

∵BD⊥CE，SE⊥BD，CE∩SE=E，∴BD⊥面SEC SC(面SEC ∴BD⊥SC

（用三垂线定理证明，只要说清CE为SC在面ABCD内射影，同样赋分）………………6分

（2）如图，以E为原点，EA、ES所在直线分别为x轴，z轴建立如图所示坐标系；

则A(1,0,0),B(1,,0),C(-1, ,0),D(-1,0,0), S(0,0,),E(0,0,0)

=(-1, ,-),

=(0, 0,),

=(1, ,-),

设面ESA的法向量为=（x1,y1,z1）,

设面ESA的法向量为=（x2,y2,z2）,则：

⊥，⊥，⊥，⊥

∴ 

解得：=（，1，0），=（0，，）

∴·=，||=,||=……………………………………………………9分

∴cos<，>== ∴<，>=arccos

设二面角E-SC-B的平面角为θ，由图可知θ=<，>= arccos(

即二面角E-SC-B的大小为arccos………………………………………………12分

19．（本题满分12分）

(1)读取茎叶图中数据,“标准件”的个数为12,“非标准件”的个数为18

按分层抽样抽取5件,这5件中,“标准件”的个数为5(=2,“非标准件”的个数为5(=3

设事件A=“从2件标准件和3件非标准件中选2件,至少有一件是标准件”

则P(A)=1?P()=1?=

答:至少有一件是“标准件”的概率是……4分

(2) 易知X=0,1,2,3

事件“X=0”=“A”;“X=1”=“BA”;“X=2”=“BBA”;“X=3”=“BBB”(没抽到A,也需强制性结束)

P(X=0) ==;P(X=1)==;P(X=2)==; P(X=3)==

故X的分布列如下……10分

其数学期望E(X)=0(+1(+2(+3(=……12分

20．（本题满分12分）

解：（1）将直线方程y=x-1代入椭圆方程并整理得：（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根，由韦达定理得：x1+x2=, x1x2=

y1+y2= x1+x2-2=  ∴xP=2=, yP==  ∴kOP==-

∴由题意：-=- ∴3a2=4b2（若考生用点差法求得此式同样赋分）

在直线l的方程中令y=0得，x=1 ∴F（1，0） ∴c=1

∴解得：a2=4,b2=3

∴椭圆方程为：+=1 ………………6分

(2)联立方程组：,消元并整理得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0

△=(-8k2)2-4(4k2+3)( 4k2-12)=144(k2+1)>0

x1+x2=,x1x2=

y1+y2=k(x1+x2-2)=,y1y2= ……………………①

A1（-2，0），A2（2，0），M（x1,y1）,N(x2,y2)

=(x2+2,y2),=(2-x1,-y1),=(x1+2,y1),=(2-x2,-y2)

由·+·=12得：（x2+2）（2-x1）-y1y2+( x1+2)( 2-x2)-y1y2=12

-2x1x2-2y1y2+8=12 ∴x1x2+y1y2=-2

+=-2 ∴-5k2-12=-8k2-6 k2=2

∴k=±

∴直线l方程为：x-y-=0或x+y-=0 ………………12分

21. （本题满分12分）

(1)f′(x)=(x>0)

①当a≥0时,方程2ax2+2x?1=0的正实根是x0=(a>0)或(a=0),f(x)在(0,x0)单减,(x0,+∞)单增

此时f(x)不存在极大值

②当?e2

此时f(x)在(0,x1)单减,(x1,x2)单增,(x2,+∞)单减(x2是极大值点

③当a≤?e2时,f(x)在(0,+∞)单减,故此时f(x)不存在极大值

综上,f(x)存在极大值时,a∈(?e2,0),且此时极大值点为…………………………6分

(2)首先注意g(x)+g(?x)=0(g(x)是奇函数,(+(>0((>?(

此时g(()+g(()>a((+()(g(()?a(>g(?()?a(?()((>?()

设G(x)=g(x)?ax=ex?e?x?(2e+1+a)x(x∈R),则上述不等式(G(x)是R上的增函数

据G′(x)=ex+e?x?2e?1?a,则对任意x∈R,恒有G′(x)≥0即a≤ex+e?x?2e?1成立

又ex+e?x?2e?1≥2?2e?1=1?2e,故a≤(ex+e?x?2e?1)min=1?2e

结合(1)的结论知a∈(?e2,1?2e]

据(1)中的②知x1,x2(0

据?e2

上面的x可以x1也可以是x2,注意0

故M=f(x2)=ax22+4ex2?2lnx2=(x22+4ex2?2lnx2=2ex2+1?2lnx2,x2∈(,1]

设F(x)=2ex+1?2lnx,x∈(,1]

此时F′(x)=>0(F(x)在(,1]上单增(F()

注意到 F()=5;F(1)=2e+1(5

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：(1)连结BC，易知∠ACB=∠APE=90(.即P、B、C、E四点共圆.

∴∠PEC=∠CBA.

又A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，

∴∠PEC=∠PDF ----5分

（2）∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆.

∴PE·PF=PC·PD=PA·PB=2×12=24. ----10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：(1)圆C的方程整理可得：

化为标准方程得：
.圆心为
，半径为
.

直线
一般方程为：
，故圆心C到
的距离

. ----5分

（2）由题意知圆心C到直线
的距离
.

由（Ⅰ）知
，得
. ----10分

24. 解：(1)由
知原不等式为

当
时，
，解得
.

当
时，
，无解.

当
时，
，解得
.

故解集为
. ----5分

（2）由
成立可得
.

又
，

即
=
.

解得
. ----10分