福建省漳平一中2014届高三5月考前围题理科数学试卷

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知为虚数单位，集合
，若
，则复数等于（ ）

A. B.
C. D.

2.已知
，若
，则是
的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件

3.如图所示的程序框图，执行相应的程序，则输出的的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

4．已知
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.向量
，在区间
上随机取一个数
，使向量
与
的夹角为锐角的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

6.某次月考后，从所有考生中随机抽取50名考生的数学成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，则该次考试数学成绩的中位数的估计值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7．
展开式中不含的项的系数绝对值的和为
，不含的项的系数绝对值的和为
，则
的值可能为( )

A．
B．
C．
D．

8.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各个面的面积中，最大的是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.函数
与
的图象交点的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10.在平面直角坐标系中，直线
的方程为
，设
为不同两点，且点B不在直线
上，实数
满足
给出下列四个命题：

（1） 不存在
，使点A在直线
上；

（2）存在
，使曲线
关于直线
对称；

（3）若
则过A,B两点的直线与直线
平行；

（4）若
，则点A,B在直线
的异侧

其中，所有真命题的序号是（ ）

A. （1）（2）（4） B.（3）（4） C. （1）（2）（3） D.（2）（3）（4）

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

11. 已知点P（
，
），落在角θ的终边上，且
，则
的值为 。

12. 数列
的前n项和为
，且
，
，
．

13.如图，等边
的顶点D,E,F分别在等边
的边AB，BC，CA上，若在
内随机取一点，则该点取自
内的概率的最小值为 ．

14.若双曲线
的焦点到渐近线的距离等于抛物线
上点
到准线的距离，则实数
= ．

15．对于集合，如果定义了一种运算“
”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：

（ⅰ）
，都有
；

（ⅱ）
，使得对
，都有
；

（ⅲ）
，
，使得
；

（ⅳ）
，都有
，

则称集合对于运算“”构成“对称集”．

下面给出三个集合及相应的运算“”：

①
，运算“”为普通加法；

②
，运算“”为普通减法；

③
，运算“”为普通乘法．

其中可以构成“对称集”的有 ．（把所有正确的序号都填上）

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分13分）2014年2月21日《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》明确：坚持计划生育的基本国策，启动实施一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策。为了解某地区城镇居民和农村居民对“单独两孩”的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否赞成“单独两孩”的问题，调查统计的结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“反对”态度的人的概率为0．05．

（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（2）在持“反对”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，按每组3人分成两组进行深入交流，求第一组中农村居民人数ξ的分布列和数学期望．

17. （本小题满分13分）已知
，其中
.若
满足
，且
的导函数
的图象关于直线
对称.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若关于的方程
在区间
上总有实数解，求实数的取值范围.

18.（本小题13分）

如图，在棱长为1的正方体
中.

求证：

已知动点K满足
.

(Ⅰ)当
．时，
三点确定的平面截该正方体所得的截面多边形为矩形（直接填空，不必证明）

（Ⅱ）若点
，求
与平面
所成角的正弦值

19．（本题满分13分）如图，分别过椭圆：
左右焦点
、
的动直线
相交于点，与椭圆分别交于
不同四点，直线
的斜率
、
、
、
满足
．已知当
轴重合时，
，
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）是否存在定点
，使得
为定值．

若存在，求出
点坐标并求出此定值，若不存在，

说明理由．

20．(本小题满分14分)

已知函数

，且
在点
处的切线方程为
.

(Ⅰ）求
的值；

(Ⅱ）若函数
在区间
内有且仅有一个极值点，求的取值范围；

(Ⅲ）设
为两曲线
，
的交点，且两曲线在

交点
处的切线分别为
.若取
，试判断当直线
与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由.

21.（1）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系
中，圆
的方程为
．以原点
为极点，以轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．

(Ⅰ）求直线
的直角坐标方程和圆
的参数方程；

(Ⅱ）求圆
上的点到直线
的距离的最小值．

（2）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若存在实数
，使得
成立，求实数的取值范围．

参考答案

1—5：CACAD；6—10：BDCDD

（11）
（12）
（13）
（14） 2 （15）①③

16. 解：（1）∵ 抽到持“反对”态度的人的概率为0.05，

∴
=0.05，解得x=60． ……………………2分

∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． …… 4分

∴ 应在“无所谓”态度抽取720×=72人． ………… 6分

（2）由（I）知持“反对”态度的一共有180人，

∴ 在所抽取的6人中，农村居民为
=4人，城镇居民为
=2人，

于是第一组农村居民人数ξ=1，2，3， …………………… 8分

P(ξ=1)=
，P(ξ=2)=
，P(ξ=3)=
，

即ξ的分布列为：

ξ

1

2

3



P









?? ………… 10分

∴ Eξ=1×
+2×
+3×
=2． ………………………… 12分

17．解：(Ⅰ)
=

由
得，
① 2 分

∵
，又∵
的图象关于直线
对称，∴
，

∴
，即
② 4分

由①、②得，
6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

∵
，
，

∴
，
. 8 分

又∵
有解，即
有解，

∴
， 10分

解得
，即
. 12分

19、（本小题满分13分）

解：（1）当l1与x轴重合时，
，即
， ………2分

∴ l2垂直于x轴，得
，
，（4分）

得
，
，　　∴ 椭圆E的方程为
．………5分

（2）焦点
、
坐标分别为(—1，0)、(1，0)．

当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)．………6分

当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为
，
，设
，
，

由
得：
，

∴
，
．（7分）

，

同理

．………9分

∵
， ∴
，即
．

由题意知
，　∴
．

设
，则
，即
，………11分

由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)也满足此方程，

∴
点椭圆
上，………12分

∴ 存在点M、N其坐标分别为
，使得
为定值
．……13分

20． 解：(Ⅰ）
，∴
，又
，

∴
． …………………………………3分

(Ⅱ）
；

∴

由
得
，

∴
或
． …………………………………5分

∵
，当且仅当
或
时，函数
在区间
内有且仅有一个极值点． ………………………………6分

若
，即
，当
时
；当
时
，函数
有极大值点
，

若
，即
时，当
时
；当
时
，函数
有极大值点
，

综上，的取值范围是
．………………………………8分

(Ⅲ）当
时，设两切线
的倾斜角分别为
，

则
，

∵
， ∴
均为锐角， …………………………………………9分

当
，即
时，若直线
能与轴围成等腰三角形，则
；当
，即
时，若直线
能与轴围成等腰三角形，则
．

由
得，
，

得