福建连城一中2014年5月高三考前围题卷

数学（文科）

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
，是虚数单位，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）

A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．下列函数中，在
内单调递增，并且是偶函数的是（ ）

A．
B．

C．
D．

4．已知等比数列{
}的前项和为
,且
，则数列
的公比的值为（ ）

A．2 B．3

C．2或-3 D．2或3

5．执行如图所示的程序框图，则输出的
的值为（ ）

A．
B.
C.
D.

6.已知实数x，y满足
,若
，则的最小值为（ ）

A． B．
C．
D．

7．正三角形
中，
,是边
上的点，且满足
，则
=（ ）

A.
B．
C．
D．

8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体

积为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．设
的内角
所对边的长分别为
,若
,则角
=（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知是双曲线
（
）的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于A、B两点，若
为钝角，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）

A．（1，＋∞） B．（1，2） C．（1，1＋
） D．

11．已知函数
的导函数图象如图所示，若
是以角
为钝角的钝角三角形，则一定成立的是（ ）

A．
B．

C.
D．

12．已知两点
，
，若直线
上至少存在三个点，使得
是直角三角形，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二.填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为
,设
,则满足
的概率为___________．

14．若函数
是偶函数，则
．

15．有一个奇数列1, 3, 5, 7, 9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数
，第二组含两个数
，第三组含三个数
，第四组含四个数
，…，现观察猜想每组内各数之和为
与其组的编号数的关系为 ．

16．若存在实常数和,使得函数
和
对其定义域内的任意实数分别满足
和
，则称直线
为
和
的“分界直线”．已知函数
和函数
，那么函数
和函数
的分界直线方程为_________．

三.解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）数列
的前项和为
，数列
是首项为
，公差不为零的等差数列,且
成等比数列．(1)求数列
与
的通项公式；

(2)对于
不等式
恒成立，求实数的取值范围．

18．（本小题满分13分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识， 某市面向全市征召名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
， 第5组
，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.

（1）求该组织的人数；

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.

19．（本小题满分12分）如图两个等边
,
所在的平面互相垂直，
平面
，且
,
.

（Ⅰ）求三棱锥
的体积；（Ⅱ）求证：
//平面
.

20．（本小题满分12分）某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧
、弧
以及两条线段
和
围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧
所在圆的半径为10米．设小圆弧
所在圆的半径为米（
），圆心角为弧度．

（1）求关于的函数关系式；

（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，当为何值时，取得最大值？

21．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于
，它的一个短轴端点点恰好是抛物线
的焦点． （1）求椭圆C的方程；

（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线
两侧的动点，①若直线
的斜率为
，求四边形
面积的最大值； ②当、运动时，满足
，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知函数
,
，（，
为常数）．

（I）若
在
处的切线方程为
（
为常数），求
的值；

（II）设函数
的导函数为
，若存在唯一的实数
，使得
与
同时成立，求实数
的取值范围；

（III）令
，若函数
存在极值，且所有极值之和大于
，求的取值范围．

参考答案

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1.A 2.B 3.C 4.C 5. D 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11. B 12.B

二.填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13.
14.
15.
16.

三.解答题：本大题共6小题，共76分.

17.解:（1）当
时，
，

得
又
，
，

∴数列{
}是以2为首项，公比为2的等比数列，

∴数列{
}的通项公式为
．

，设公差为
，则由
成等比数列，得
，………4分

解得
（舍去）或

∴数列
的通项公式为
．………………6分

（2）令

，

，

两式相减得
，

∴
，

故{
}是单调递增的数列．
∴
…………………………12分

18.解：（1）由题意：第2组的人数：
,得到：
，

故该组织有100人. …………3分

(2) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为

0. 1×100=10. ∵第3,4,5组共有60名志愿者, ∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:
; 第4组:
; 第5组:
.

∴应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分

(3)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1, A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),

(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种.

其中第3组的3名志愿者A1,A2,A3,至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),

(A3,C1),共有12种,

则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为
． …………12分

19．解：（Ⅰ）∵
为等边三角形，且
，

∴
………………………………………1分

∵
………………2分

∴三棱锥
的体积:

…………………………………3分

…………………………4分

（II）证明：取AC的中点O，连结DO、BO，……………………………5分

∵
为等边三角形，且
，

∴
…………………………………………………………6分

∵

∴
………………………………7分

∵
平面
，

∴
，
,…………………………8分

∴
………………………9分

∴
,………………………………………10分

又∵

∴
…………………………………12分

20．解： (1)设扇环的圆心角为(，则
，∴
，

(2) 花坛的面积为
．

装饰总费用为
，

∴花坛的面积与装饰总费用的比
，

令
，则
，当且仅当t=18时取等号，

此时
．

答：当
时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．

21．解：（1）设C方程为
（a＞b＞0），则
。由
，
，得
故椭圆C的方程为
。……………………3分

（2）①设（
，
），B（
，
），直线AB的方程为
，

代入
中整理得
，

△＞0
－4＜＜4，
+
=
，

=

四边形APBQ的面积
=
，

当
时
……………7分

②当
＝
时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为
，则PB的斜率为－
，PA的直线方程为
，代入
中整理得

+

=0，2+
=
，

同理2+
=
，
+
=
，
－
=
，

从而
=
，即直线AB的斜率为定值……………12分

22．解：（Ⅰ）∵
所以直线
的
，当
时，
，将
代入
，得
． ……4分

?（Ⅱ）
?，由题意知
消去，

得
有唯一解．

令
，则
， ………………6分

∴
在区间
上是增函数，在
上是减函数，

又
，

故实数
的取值范围是
．?………9分

（Ⅲ）

∵
存在极值，∴
在
上有根即方程
在
上有根． ………………10分

记方程
的两根为
由韦达定理
，

∴方程的根必为两不等正根． ………………12分

∴
满足方程
判别式大于零

故所求取值范围为
． ………………14分