福建省漳州八中2014届高三高考模拟理科数学试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若
R，为虚数单位，且
，则

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

2.设
，若
，则
=（ ）

A.
B.1 C. D.

3.某体育馆第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依次类推，那么第十五排有（ ）个座位。

A．27 B．33 C．45 D．51

4.设平面的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，

若
，则k＝ （ ）

A．2 B． 4 C．－2 D．－4

5.已知函数f(x)的导函数的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是(? )

6.用数学归纳法证明不等式
时的过程中，由
到
时，不等式的左边。。。。。。。。。。。。。。。（　　）

A．增加了一项
B．增加了两项

C．增加了两项
，又减少了一项

D．增加了一项
，又减少了一项

7.已知椭圆
和双曲线
有相同的焦点
是它们的一个交点，则
的形状是 …………. （ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随
的变化而变化

8.两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢

局次的不同视为不同情形)共有…………….（　　）

A．30种 B．20种 C．15种 D．10种

9.个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（ ）

A．↓→ B．→↓ C．↑→ D．→↑

10.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)=
则f(x)的“友好点对”有（ ）个.

A．0 B．1 C．2 D．4

二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上）

11.设
则
等于 ____________________________．

12.椭圆中有如下结论：椭圆
上斜率为1的弦的中点在直线
上，类比上述结论得到正确的结论为：双曲线
上斜率为1的弦的中点在直线 _____________ 上

13.曲线
在点
处切线的倾斜角为 __________________________

14.已知双曲线
的离心率为2，焦点与椭圆
的焦点相同，那么双曲线的方程为_____________________．

15.观察等式

……

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于
_____________.

三、解答题(16、17、18、19每题13分，20、21每题14分，总共80分）

16.（本小题满分13分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对
岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（1）补全频率分布直方图并求
的值；

（2）从年龄段在
的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在
岁的概率。

17.(本小题13分)某家具厂生产一种儿童用组合床柜的固定成本为20000元，每生产一组该组合床柜需要增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中是组合床柜的月产量.

（Ⅰ）将利润元表示为月产量组的函数；

（Ⅱ）当月产量为何值时，该厂所获得利润最大？最大利润是多少？

（总收益=总成本+利润）

18.（本小题满分13分）如图，在四面体
中，
平面
，
，
，
。
是
的中点，是
的中点，点
在线段
上，且
。⑴证明:
平面
；⑵若异面直线
与
所成的角为
，二面角
的大小为
，求
的值。

19.（本小题满分13分）已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查

①
；

②
；

③
．

归纳出对a1，a2，…，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

20.（本小题满分14分）已知椭圆
(
)的短轴长为2，离心率为
．过点M（2,0）的直线与椭圆
相交于、两点,
为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围；

（Ⅲ）若点关于轴的对称点是
，证明：直线
恒过一定点.

21.本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

若点
在矩阵


对应变换的作用下得到的点为
，（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵;

（Ⅱ）求曲线C：x2+y2=1在矩阵N=
所对应变换的作用下得到的新的曲线C'的方程。

（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

（Ⅰ） 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长 度单位已知直线的极坐标方程为
，它与曲线
为参数）相交于两点A和B， 求|AB|;

（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C1的极坐标方程为：
，曲线C2的参数方程为：
（
为参数），试求曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）已知函数
,
, 若

恒成立，求实数的取值范围。

（Ⅱ）已知实数
满足
且
的最大值是1，求的值．

试卷答案

1.B2.C3.B4.B5.A6.C 7.B8.B9.B10.C

11.

12.

13.

14.

15.

16.

（1）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.02）×5=0.3.所以高为

第一组人数为
，频率为0.04×5=0.2.所以
。

又题可知，第二组的频率0.3，第二组人数为
，所以
。

第四组的频率0.03×5=0.15，所以第四组人数为
，所以
。………………………………6分

（2）因为
岁年龄段的“低碳族”与
岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，
岁中有4人，
岁中有2人，设
岁中的4人为a,b,c,d.
岁中的2人为m,n,则选取2人作为领队的有(a,b), (a,c), (a,d), (a,m), (a,n), (b,c), (b,d), (b,m), (b,n), (c,d), (c,m), (c,n), (d,m), (d,n), (m,n),共15种；其中恰有1人年龄在
岁的有(a,m), (a,n), (b,m), (b,n), (c,m), (c,n), (d,m), (d,n)，共8种. 所以选取的2名领队中恰有1人年龄在
岁的概率为
.………………………………13分

17.（Ⅰ）由题设，总成本为
，………………………………2分

则
………………………………7分

（Ⅱ）当
时，
，

当
时，
；…………………………………………10分

当
时，
是减函数，

则
．

∴当
时，有最大利润
元．………………………………13分

18.

法一：⑴如图，连
并延长交
于，连
，过
作
交
于
，则
，
。故
，从而
。因
平面
，
平面
，故
平面
；

⑵过
作
于，作
于，连
。因
平面
，故平面
平面
，故
平面
，因此

，从而
平面
，所以
即为二面角
的平面角。因
，故
，因此
即为
的角平分线。由⑴易知
，故
，从而
，
。由题易知
平面
，故

。由题
，故
。所以

，从而
。

法二：如图建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
。

⑴设
，则
，因此
。显然
是平面
的一个法向量，且
，所以
平面
；

⑵由⑴
，
，
，故由
得
，因此
，从而
，
。设
是平面
的法向量，则
，取
得
。设
是平面
的法向量，则
，取
得
。故
.

19.结论：（a1+a2+…+an）（
+
+…+
）≥n2…（4分）

证明：①当n=1时，显然成立；…………………………（6分）

②假设当n=k时，不等式成立，

即：（a1+a2+…+ak）（
+
+…+
）≥k2………………………………… （9分）

那么，当n=k+1时，

（a1+a2+…+ak+ak+1）（
+
+…+
+
）

=（a1+a2+…+ak）（
+
+…+
）+ak+1（
+
+…+
）+
（a1+a2+…+ak）+1

≥k2+（
+
）+（
+
）+…+（
+
）+1

≥k2+2k+1

=（k+1）2

即n=k+1时，不等式也成立．…（12分）

由①②知，不等式对任意正整数n成立．…（13分）

20.（Ⅰ）易知
，
得
,故
.

故方程为
. （3分）

（Ⅱ）证明：设：
，与椭圆的方程联立,消去得

. 由△＞0得
.

设
,则
.

∴

=

，∴
，

故所求范围是
. （8分）

（Ⅲ）由对称性可知N
，定点在
轴上.

直线AN：
，令
得:

,

∴直线过定点
. （13分）

21.（1）本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识，考查运算求解能力， 满分7分.

解：（Ι）法一：
，即
，……………………1分所以
得
……………………3分

即M=

，由
得

. ………………4分

法二：同法一可求得M=

因为

=1
,

. ………4分

（Ⅱ）

(2)解：（Ι）直线和圆的直角坐标方程分别为
…………1分

则圆心为C（1，2），半径R=
，…………………………………………………2分

从而C到直线y=x的距离d=
………………………………………3分

由垂径定理得，|AB|=
………………………………4分

（Ⅱ）解：曲线C1可化为：
………5分

曲线C2是以（1,3）为圆心，1为半径的圆………………………6分

（1,3）关于直线
的对称点（-1，1）故所求曲线为圆
……………7分

(3)解：（Ι）函数
的图象恒在函数
图象的上方，

即

, …………1分

从而有

） ……………………………2分

由绝对值不等式的性质知 2（

2
=20

因此，实数的取值范围为
……………………………3分

（Ⅱ）解：由柯西不等式：

………（5分）

因为

所以
，

因为
的最大值是1,所以
，

当
时，
取最大值，………………………………6分

所以
. ……………………………………7分

……7分