2013---2014学年度下学期高三第二次统一考试

数学试题(文科)

参考答案及评分标准

一.选择题:每小题5分,总计60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

D

A

A

D

D

C

C

A

A



二.填空题:每小题5分,总计20分.

13. 32014

14. (1-()n)



15. (1,2)

16.π



三.解答题:

17. .(本小题满分12分)

解：f(x)=2cosx(3sinx-cosx)- sin(2x+)+1=3sin2x-2cos2x-sin2x-cos2x+1

2sin2x-2cos2x=2sin(2x-) …………… …4分

（1）令2kπ-≤2x-≤2kπ+

解得：kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z

∴f(x) 的单调递增区间为[kπ-，kπ+π]，k∈Z …………… …8分

（2）∵≤x≤ ∴≤2x-≤

∴-≤sin(2x-)≤1 ∴-2≤2sin(2x-)≤2

∴fmin(x)=-2,fmax(x)= 2 …………… …12分

18.(本小题满分12分)

（1）证明：连接BD，设BD∩CE=O

易证：△CDE∽△BCD ∴∠DBC=∠ECD

∵∠DBC+∠BDC=90( ∴∠ECD +∠BDC=90(

∴∠COD=90( ∴BD⊥CE……………………………2分

（用其它方法证出BD⊥CE，同样赋分）

∵△SAD为正三角形，E为AD中点 ∴SE⊥AD

又∵面SAD⊥面ABCD，且面SAD∩面ABCD=AD

∴SE⊥面ABCD ∵BD(面ABCD ∴SE⊥BD

∵BD⊥CE，SE⊥BD，CE∩SE=E，∴BD⊥面SEC SC(面SEC ∴BD⊥SC

（用三垂线定理证明，只要说清CE为SC在面ABCD内射影，同样赋分）………………6分

（2）∵F为SC中点 ∴VF-EBD=VS-EBC

连接SE，面SAD⊥面ABCD∵△SAD为正三角形∴SE⊥AD又∵面SAD⊥面ABCD

∴SE⊥面ABCD SE= S△EBC=×2×=

∴VF-EBD=VS-EBD=×××= ……………………………………12分

19．（本题满分12分）

（1）由茎叶图可知：30个零件中“标准件”的个数为12个,“非标准件”的个数为18个，因为抽样比例为=

∴按分层抽样抽取5件,这5件中,“标准件”的个数为12(=2,

“非标准件”的个数为18(=3

∴这5件产品中“标准件”和“非标准件”的件数分别为2、3

 =176,  =167……………………6分

（2）两个标准件记作：A1，A2；三个非标准件记作：B1,B2,B3.

从（1）中抽出的5件中抽取2件所构成的基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），

（A1，B3），（A2，B1），（A2，BA2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个

设事件A=“从2件标准件和3件非标准件中选2件,至少有一件是标准件”，则事件A共包括以下其本事件：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，BA2），（A2，B3），共7个基本事件，所以P（A）=

20．（本题满分12分）

解：（1）将直线方程y=x-1代入椭圆方程并整理得：（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根，由韦达定理得：x1+x2=, x1x2=

y1+y2= x1+x2-2=  ∴xP=2=, yP==  ∴kOP==-

∴由题意：-=- ∴3a2=4b2（若考生用点差法求得此式同样赋分）

在直线l的方程中令y=0得，x=1 ∴F（1，0） ∴c=1 ∴解得：a2=4,b2=3

∴椭圆方程为：+=1 ………………6分

(2)联立方程组：,消元并整理得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0

△=(-8k2)2-4(4k2+3)( 4k2-12)=144(k2+1)>0

x1+x2=,x1x2=

y1+y2=k(x1+x2-2)=,y1y2= ……………………①

S1=|A1A2|·y1, S2=|A1A2|·|y2|=-|A1A2|·y2

∵S1=2S2 ∴y1=-2y2

代入①中两个式子：-y2=,……………………②

-2y2=……………………③

得：=- 整理得：= ∴k2= k=±

∴直线l方程为：x-2y-=0或x+2y-=0 ………………12分

21.（本题满分12分）

解:(1)f ′(x)=(x>0,a∈R),

注意到 –a–<0<–a+ ………………………3分

则f(x)在(0,)↓,(,+∞)↑ ………………………6分

(2)设极小值点为x=t,则f ′(t)=0(2t2+at–2=0(a=,据|a|<3(<3

((2t2–2)2–(3t)2<0(t>0)(t∈(,2) ………………………8分

此时f极小(x) =f(t)=t2+at–2lnt=t2+t(–2lnt=2–t2–2lnt,t∈(,2)

设g(t)=2–t2–2lnt,t∈(,2)(g′(t)= –<0(g(t)在(,2)↓…………8分

(g(2)

故“b–2ln2≤–2–2ln2”且“+2ln2≤b+4+2ln2”

(b∈[–,–2]………………………12分

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：(1)连结BC，易知∠ACB=∠APE=90(.即P、B、C、E四点共圆.

∴∠PEC=∠CBA.

又A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，

∴∠PEC=∠PDF ----5分

（2）∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆.

∴PE·PF=PC·PD=PA·PB=2×12=24. ----10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：(Ⅰ)圆C的方程整理可得：

化为标准方程得：
.圆心为
，半径为
.

直线
一般方程为：
，故圆心C到
的距离

. ----5分

（Ⅱ）由题意知圆心C到直线
的距离
.

由（Ⅰ）知
，得
. ----10分

24. 解：(Ⅰ)由
知原不等式为

当
时，
，解得
.

当
时，
，无解.

当
时，
，解得
.

故解集为
. ----5分

（Ⅱ）由
成立可得
.

又
，

即
=
.

解得
. ----10分