福建连城一中2014年5月高三考前围题卷

理科数学试卷

(全卷满分150分，考试时间120分钟．)

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）

1．设是虚数单位，则
等于（ ）

A、0 B、 C、 D、

2.运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（ ）

A．
B．1 C．
D．2

3．由曲线
，直线
，
和轴围成的

封闭图形的面积（如图）可表示为（ ）

A．
B．

C．
D．

4．已知直线
⊥平面，直线m
，给出下列命题：

①∥
②
∥m; ③
∥m

④
∥
其中正确的命题是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③

5.定义区间
的长度为
.若
是函数

一个长度最大的单调递减区间，则 ( ) A．
,
B．
,

C．
,
D．
,

6．如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为
，

则主视图中三角形的高x的值为 ( )

A.
B.
C. 1 D.

7．已知A，B，C三点的坐标分别是
，
，
，
，若
，

则
的值为 （　　）

A．
B．
C．2 D．3

8.抛物线
的焦点为,点
为该抛物线上的动点,又点
,则
的最小值是（　）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
有两个极值点,则实数的取值范围是(　　）

A．
B．
C．
D．

10.设
是定义在上的偶函数,且当
时,
.若对任意的
,不等式
恒成立,则实数的最大值是(　　）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．已知

12. 已知O是坐标原点，点A
，若点M
为平面区域
上的一个动点，则
的最小值是 .

13．已 知F1 ,F2分别是双曲线
的左、右焦点,过F1的直线
与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若ΔABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为

14．已知点为
的外心，且|
|=4，则
等于 ．

15.对于函数
，若存在区间
，使得
，则称区间
为函数
的一个“好区间”．给出下列4个函数：

①
；②
；③
；④
．

其中存在“好区间”的函数是　 　． （填入所有满足条件函数的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分13分）

已知函数
（
）的最小正周期为．

（Ⅰ）求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移个单位，得到函数
的图象．若
在
上至少含有
个零点，求
的最小值．

17.（本小题满分13分）

某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)

以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 ．

(I) 求这次铅球测试成绩合格的人数；

(II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记
表示两人中成绩不合格的人数，求
的分布列及数学期望；

(III) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率

18．(本题满分13分）

如图，三棱柱
中，
，
，
，
是以
为底边的等腰三角形，平面
平面
，
分别为棱
、
的中点

（1）求证：
平面
；

（2）若到面
的距离为整数，且
与平面
所成的角的余弦值为
，求二面角
的余弦值．

19．（本题满分13分）

设点

分别是椭圆
的左、右焦点,为椭圆
上任意一点,且
的最小值为
.

（I）求椭圆
的方程;

（II）设直线
（直线
、
不重合）,若
、
均与椭圆
相切，试探究在轴上是否存在定点
,使点
到
、
的距离之积恒1? 若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由.

20．（本题满分14分）

已知函数

(Ⅰ)当
时，求函数
的极小值；

(Ⅱ)当
时，过坐标原点
作曲线
的切线，设切点为
，求实数的值；

(Ⅲ)设定义在上的函数
在点
处的切线方程为

当
时，若
在内恒成立，则称为函数
的“转

点”．当
时，试问函数
是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

如图，单位正方形区域
在二阶矩阵
的作用下变成平行四边形
区域．

（Ⅰ）求矩阵
；

（Ⅱ）求
，并判断
是否存在逆矩阵？若存在，求出它的逆矩 阵．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参

数方程为
为参数，
）．

（Ⅰ）化曲线
的极坐标方程为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
经过点
，求直线
被曲线
截得的线段
的长．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

设不等式
的解集与关于的不等式
的解集相同．

（Ⅰ）求，
的值；

（Ⅱ）求函数
的最大值，以及取得最大值时的值.

参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)

1.D 2.A 3.B 4.D 5. D 6. C 7. B 8.B 9.B 10.C

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11.
12．
13．
14. 8 15. ②③④

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

16．解：（Ⅰ）由题意得

由周期为，得
. 得

由正弦函数的单调增区间得

，得

所以函数
的单调增区间是
…………6分

（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，

得到
的图象，所以

令
，得：
或

所以在每个周期上恰好有两个零点， 若
在
上有
个零点，

则
不小于第
个零点的横坐标即可，即
的最小值为
…………13分

17．（I）解：：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，　　　 　

∴此次测试总人数为
(人). …………（2分）

∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) ………（4分）

（II）
的可能取值为0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为
,

∴
～
. …………5分

X

0

1

2



P











，
.　………7分所求的
的分布列为

18. 解（1）
，
是以
为斜边的等腰直角三角形, 取
的中点，连接
,设
，则

面
面
，且面
面
，

面
，
面

以为坐标原点，以
、
、
为
轴建立空间直角坐标系

设平面
的一个法向量为

， 又
面

面
…………6分

（2）设平面
的一个法向量为
又

则
，
，令
，则

又

=

解得
或
，
为整数
所以

同理可求得平面
的一个法向量

=

又二面角
为锐二面角，故余弦值为
…………13分

19. 【解析】

（I）设
,则有
,

由
最小值为
得
,

∴椭圆
的方程为
………（4分）

（II）把
的方程代入椭圆方程得

∵直线
与椭圆
相切,∴
,化简得

同理可得:

∴
,若
,则
重合,不合题意, ∴
,即

设在轴上存在点
,点
到直线
的距离之积为1,则

,即
,

把
代入并去绝对值整理,
或者

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的
恒成立 则
,

解得
;

综上所述,满足题意的定点
存在,其坐标为
或
………（13分）

20．【解析】(I)当
时，
，

当
时，
；当
时
；当
时
.

所以当
时，
取到极小值
。 ……………………………3分

(II)
，所以切线的斜率

整理得
,显然
是这个方程的解，又因为
在
上是增函数，所以方程
有唯一实数解，故
.……………………7分

(III)当
时，函数
在其图象上一点
处的切线方程为

，

设
，则
，