2014届高三八校交流芗城中学

数学理科试题卷

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知
，其中为虚数单位，则
（ ）

A．
B． 1 C． 2 D． 3

2．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ）

A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）

3．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（ ）

4. 设
为等差数列
的前项和，若
，公差
，
，则
（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

5. 给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是（ ）

A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ②和④

6．已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域
上的一个动点，则
·
的取值范围是（ ）

A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]

7. 若函数
(ω>0)在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，

则ω=（ ）

A．3 B．2 C．
D．

8. 若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（ ）

A．甲同学：均值为2，中位数为2 B．乙同学：均值为2，方差小于1

C．丙同学：中位数为2，众数为2 D．丁同学：众数为2，方差大于1

9. 若直线
没有公共点，则过点
的一条直线与椭圆
的公共点的个数是 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．1或2

10. 某地2010年降雨量
与时间X的函数图象如图所示，

定义“落量差函数”
为时间段
内的最大降雨量

与最小降雨量的差，则函数
的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题；本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11. 根据如图所示的程序，当输入a，b分别为2，3时，

最后输出的 m的值是

12. 已知等比数列
的前三项依次为
,

则

13．设
的展开式的

常数项是

14．从某地高中男生中随机抽取100名 同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为

15．下面有4个命题：

① 当
时，
的最小值为2；

② 若双曲线
的一条渐近线方程为
，且其一个焦点与

抛物线
的焦点重合，则双曲线的离心率为2；

③ 将函数
的图象向右平移
个单位，可得到函数
的图象；

④ 在
中，
，则
的外接圆半径
；

类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别

为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径
．

其中错误命题的序号为_______ （把你认为错误命题的序号都填上）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. (本小题满分13分) 已知向量
，

设函数
。(Ⅰ)求
的最小正周期与单调递减区间

（Ⅱ）在
中，a、
、c分别是角A、B、C的对边，若
的面积为
，求a的值。

X

1

2

…

n



P





…





17.(本小题满分13分) 随机变量X的分布列如下表如示，若数列
是以
为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q(
,q)．现随机变量X∽Q(
,2)．

(Ⅰ)求随机变量X的分布列；

（Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率．

18. (本小题满分13分) 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，

AB⊥AC，PA=AC=
，N为AB上一点，AB=4AN,

M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

19．(本小题满分13分) 已知椭圆
的焦点为
，
，

离心率为
，直线
与轴，轴分别交于点，．

（Ⅰ）若点是椭圆的一个顶点，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若线段
上存在点满足
，求的取值范围．

20．(本小题满分13分)设函数
定义在
上，
，导函数
（Ⅰ）求
的最小值；

（Ⅱ）讨论
与
的大小关系；（Ⅲ）是否存在
，使得
对任意
成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在请说明理由。

21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换

已知二阶矩阵
有特征值
及对应的一个特征向量
．

（Ⅰ）求矩阵
；

（Ⅱ）设曲线在矩阵
的作用下得到的方程为
，求曲线的方程

(2) (本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程

求直线
截得的弦长。

(3) (本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲

设函数
（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）如果不等式
的解集为
，求的值。

芗城中学数学理科交流卷答案

一、选择题 B C D A D C C D C B

二、填空题

11. 3 12.
13. 6

14. 1/3 15. ①③

三、解答题

16.（13分）解：（Ⅰ）
，

．．．．．．．．．．3分

……………4分

令
　　

的单调区间为
,k∈Z　．．．．．．6分

（Ⅱ）由
得　　　
　　　　

　　．．．．．．．．．．７分

又
为
的内角　
　　　

　　

　．．．．．．．．．．．９分

　
　
．．．．．１０分

　　　
　　．．．．．．13分

17.（13分）解：(Ⅰ)依题意得，数列
是以
为首项，以2为公比的等比数列，所以
=1 解得n=6。………4分

X

1

2

3

4

5

6



P

1/63

2/63

4/63

8/63

16/63

32/62



…………7分

（Ⅱ）随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率为

+
+
…………9分

所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为

=
…………13分

18.（13分）（Ⅰ）证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC， AP分别为

x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。 则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），

M（1,0,
），N（
,0,0），S（1,
,0）………4分

,

，故CM⊥SN……6分

（Ⅱ）
,

设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

则
……9分

；………12分

所以SN与片面CMN所成角为45°。……13分

19.（13分）解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为
，故
，………2分

由
，得
， ∴
，……4分 所求的椭圆方程为
.……5分

（Ⅱ）可设椭圆方程为
，联立
得
，…7分

已知线段
上存在点满足
，即线段
与椭圆有公共点，

等价于方程
在
上有解.…………9分

∴
， 由
，故
，

故所求的的取值范围是
.…………13分

20.（14分）解：（Ⅰ）由题设易知
，

，令
得
，当
时，
，当
时，
,因此，
是
的最小值点，所以最小值为
。………4分

即
，故
，与假设矛盾。

不存在
使
对任意
成立。………14分

21．（1）解：（Ⅰ）



=
，∴

解得
∴
.………4分

（Ⅱ）设点
为曲线上的任一点，它在矩阵
的作用下得到的点为
，

则
，所以
代入
得
，

所以所求的曲线方程为
.………7分

(2) 解：直线
………2分

曲线
半径为4的圆………4分

则圆心（1，—1）到直线
………5分

设直线被曲线截得的弦长为t，则
，

∴直线被曲线截得的弦长为
………7分

(3)解：（Ⅰ）当
时，不等式
，可化为，

，所以不等式
的解集为
………3分

（Ⅱ）因为
，所以，
，可化为，

即

因为，
所以不等式的解集是
，得
………7分