福建省漳平一中2014届高三5月考前围题文科数学试卷

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设复数
, 若
为纯虚数,则实数
=（　　）

A. B.
C.1 D.

2.下列导数运算正确的是（　　）

A.
B.
C.
D.

3.已知a∈R,且a≠0,则
是
的( ).

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

4.函数y=ln(x+1)与
的图像交点的横坐标所在区间为( )

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

5.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为
,

则判断框内应填入的条件是( )

A.k<3 B.k>3 C.k<4 D.k>4

6.将函数
的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍

(纵坐标不变),再向左平移
个单位,所得函数图像的一条对称轴为（　　）

A.
B.
C.
D.

7. 已知函数
则下列图象错误的是（　　）

8．设
的内角
所对边的长分别为
,若
,则角
=（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知直线a,b异面, ,给出以下命题:

①一定存在平行于a的平面使
;②一定存在平行于a的平面使
∥;

③一定存在平行于a的平面使
;④一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点.

则其中论断正确的是( )

A.①④ B.②③ C.①②③ D.②③④

10.已知
分别为双曲线
的左、右焦点, P为双曲线右支上一点,满足
, 直线
与圆
相切, 则该双曲线的离心率是（　　）

A.
B.
C.
D.以上都不正确

11.已知
, 现有下列不等式: ①
; ②
; ③
;

④
; 其中正确的是（　　）

A. ②④ B.①② C.③④ D.①③

12．定义一：对于一个函数
，若存在两条距离为
的直线
和
，使得在
时，
恒成立，则称函数
在内有一个宽度为
的通道.

定义二：若一个函数
，对于任意给定的正数，都存在一个实数
，使得函数
在
内有一个宽度为的通道，则称
在正无穷处有永恒通道.

下列函数①
,②
，③
，④
，

其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ）

A. 1 B.2 C. 3 D.4

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.

13.一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下
,2;
,3;
,4;
,5;
,4;
, 2.则样本在
上的频率是 ．

14.已知函数
(其中
,
,

)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解

析式是 .

15.设点
是区域
内的随机点,

记

,

则事件A发生的概率是_____________________________.

16.设函数
（
） ,

四位同学研究得出如下四个命题，其中真命题的有_______________

①
是偶函数；②
在
单调递增；③不等式
的解集为
；

④关于实数的方程
可能有无数解．

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.（本小题满分12分）

汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）.

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为
.

（Ⅰ）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过
的概率是多少？

（Ⅱ）求表中的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.

18.（本小题满分12分）

已知等差数列
中，
是它前项和，设
.

(I)求数列
的通项公式；

(II)若从数列
中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第
项，……，按取出的

顺序组成一个新数列
，试求数列
的前项和
.

19.(本小题满分12分)

已知正△ABC的边长为, CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图所示.

(Ⅰ)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;

(Ⅱ)若棱锥E-DFC的体积为
,求a的值;

(Ⅲ)在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF？如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.

20. (本小题满分12分)

如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM＝PN＝MN＝2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

21.（本小题满分12分）

已知椭圆
，直线

恒过的定点为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3.

（I）求椭圆
的方程；

（II）若直线
为垂直于轴的动弦，且
均在椭圆
上，定点
，直线

与直线
交于点
．

①求证：点
恒在椭圆
上； ②求
面积的最大值．

22.(本小题满分14分)已知函数
有两个极值点
且

(I)求实数的取值范围,并写出函数
的单调区间;

(II)判断方程:
根的个数并说明理由;

(III)证明:
.

漳平一中5月高考模拟数学(文科)试卷

数学(文科)参考答案

1-6 ADBBCC 7-12 BDBBDC

13.
14.
15 . 1/3 16 . ①③④

17. （本小题满分12分）

解：（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：

（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），

（120，140），（120，150），（140，150）。…………………………………………. 2分

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：

（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）

∴

答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7.…………………………. 6分

（2）由题可知，
，

解得
。 …………………………….7分

又
……………………………. 8分

∴
，

……………………11分

∵

∴ 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好。 …………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）设数列
.则由已知得:

①，
② …………4分

联立①②解得
…………6分

（Ⅱ）
………………9分

所以
………… 12分

19.解(1)AB//平面DEF,

如图.在△ABC中,∵E,F分别是AC,BC的中点,故EF//AB,

又AB平面DEF,∴AB//平面DEF, ……4分

(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD, 将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B

∴AD⊥BD,AD⊥平面BCD,取CD中点M,则EM//AD,∴EM⊥平面BCD,且EM=a/2

,a=2. ……8分

(3)存在满足条件的点P.

做法:因为三角形BDF为正三角形,过B做BK⊥DF,延长BK交DC于K,过K做KP//DA,交AC于P.则点P即为所求.

证明:∵AD⊥平面BCD , KP//DA,∴PK⊥平面BCD,PK⊥DF,又 BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面PKB,DF⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2.

故AP:OC=1:2,AP:AC=1:3 ……12分

20.解法一:设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．

因为MN＝2,所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分

在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ).…………………4分

AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°θ) cos(60°＋θ) ………………………………6分

＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4

＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． ………………………10分

当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.

答:设计∠AMN为60(时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分

解法二(构造直角三角形):

设∠PMD＝θ,在△PMD中,

∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ.……………2分

在△AMN中,∠ANM＝∠PMD＝θ,∴＝,

AM＝sinθ,

∴AD＝sinθ＋2cosθ,(θ≥时,结论也正确).……………4分

AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2

＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………6分

＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋

＝＋sin(2θ－),θ∈(0,).…………………………10分

当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

此时AM＝AN＝2,∠PAB＝30° …………………………12分

解法三:设AM＝x,AN＝y,∠AMN＝α.

在△AMN中,因为MN＝2,∠MAN＝60°,

所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN,

即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4.…………………………2分

因为＝,即＝,

所以sinα＝y,cosα＝＝＝.………………………4分

cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝.…6分

在△AMP中,AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP,

即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy.……………………10分

因为x2＋y2－xy＝4,4＋xy＝x2＋y2≥2xy,即xy≤4.

所以AP2≤12,即AP≤2.

当且仅当x＝y＝2时,AP取得最大值2.

答:设计AM＝AN＝2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………… 12分

解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.

设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).∵MN＝2,

∴(x1－x2)2＋3x＝4.…………………………2分

MN的中点K(,x2)．

∵△MNP为正三角形,且MN＝2,∴PK＝,PK⊥MN,

∴PK2＝(x0－)2＋(y0－x2)2＝3,

kMN·kPK＝－1,即·＝－1,………………4分

∴y0－x2＝(x0－),∴(y0－x2)2＝(x0－)2

∴(1＋)(x0－)2＝3,即(x0－)2＝3,∴(x0－)2＝x．

∵x0－＞0 ∴x0－