福建省芗城中学2014届高三高考模拟文科数学试卷

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若全集
，集合
，
，则

A．{2} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4，5}

2．函数
的定义域是

A．
B．
C．
D．

3．设为虚数单位，则复数
在复平面内所对应的点位于

A．第四象限 B．第三象限

C．第二象限 D．第一象限

4．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是

A．a＋b≥2 B．＋＞

C．＋≥2 D．a2＋b2＞2ab

5．下列函数中，在区间
上为减函数的是

A．
B．

C．
D．

6．执行如图1所示的程序框图，若输入的值为4，

则输出的值是

A． B．

C．
D．

7．某几何体的三视图如图2所示（单位：cm），

则该几何体的体积是

A．

B．

C．

D．

8．设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为

A．－3 B．－2

C．－1 D．0

9.函数在上可导，其导函数
，且函数
在
处取得极小值，则函数
的图象可能是

10．将函数
的图象向右平移
个单位，再将所得图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
倍后的函数图象关于直线
对称，则实数的最大值为

A．
B． C．
D．

11．已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，?x1≥0，?x2≥0，若x1≠x2，则＜0.如果f＝，4f(logx)＞3，那么x的取值范围为(　　)

A. B.

C.∪(2，＋∞) D.∪

12.数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an＋T＝an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T.已知数列{an}满足a1＝m(m＞0)，an＋1＝则下列结论中错误的是(　　)

A．若m＝，则a5＝3 B．若a3＝2，则m可以取3个不同的值

C．若m＝，则数列{an}是周期为3的数列

D．?m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列

非选择题部分（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为________．

14．圆x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为________．

15．已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在此双曲线上，·＝0，如果点P到x轴的距离等于，那么该双曲线的离心率等于________．

16．已知函数①f(x)＝x2；②f(x)＝ex；③f(x)＝ln x；④f(x)＝cos x．其中对于 f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)＝1成立的函数是　　

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在(ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A、B都是锐角，a=6，b=5 ，
.（1） 求
和
的值；（2） 设函数
，求
的值.

18．（本小题满分13分）

已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.

（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？

据此写出所有被抽出学生的号码；

（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的

茎叶图如图4所示，求该样本的方差；

（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名

成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和

不小于154分的概率．

19．（本小题满分13分）

如图5，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，

点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知
，

.

（1）求证：OD//平面VBC；

（2）求证：AC⊥平面VOD；

（3）求棱锥
的体积.

20．(本小题满分12分) 已知等差数列
的公差
，它的前项和为
，若
，且
成等比数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前项和为
，求证：
．

21．(本小题满分13分)已知f(x)＝x2－2x－ln(x＋1)2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若函数F(x)＝f(x)－x2＋3x＋a在上只有一个零点，求实数a的取值范围．

22．(本小题满分14分)过椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1. C 2. A 3. B 4. C 5．B 6. C 7. D 8．A 9. C 10. D 11．B 12. D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

13.  14. x＋y－4＝0 15.　 16. ②

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

解：（1）由正弦定理
，得
. （3分）

∵A、B是锐角，∴
， （4分）

， （5分）

由
，得
（6分）

（7分）

（8分）

（2）由（1）知
，

∴
（11分）

（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. （2分）

因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02， 12， 22， 32， 42，52，62，72，82，92. （4分）

（2）这10名学生的平均成绩为：

×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71， （6分）

故样本方差为：
（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52. （8分）

（3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：

（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. （10分）

其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. （11分）

故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：
（12分）

19．（本小题满分12分）

证明：（1）∵ O、D分别是AB和AC的中点，∴OD//BC . （1分）

又
面VBC，
面VBC，∴OD//平面VBC. （3分）

（2）∵VA=VB，O为AB中点，∴
. （4分）

连接
，在
和
中，
,

∴
≌(VOC ，∴
=(VOC=90(， ∴
. （5分）

∵
,
平面ABC,
平面ABC, ∴VO⊥平面ABC. （6分）

∵
平面ABC，∴
. （7分）

又∵
，是
的中点，∴
. （8分）

∵VO(平面VOD，VD(平面VOD，
，∴ AC平面DOV. （9分）

（3）由（2）知
是棱锥
的高，且
. （10分）

又∵点C是弧的中点，∴
，且
，

∴三角形
的面积
， （11分）

∴棱锥
的体积为
，

故棱锥
的体积为
. （12分）

20．（本小题满分12分）

20．（Ⅰ）解：依题意，有

，即
…2分

解得
………………………………………………………… 4分

∴数列
的通项公式为
（
）．……………………… 5分

（Ⅱ）证明：由（1）可得
．……………………………… 6分

∴
…………… 7分

∴
………………… 8分

∵
是递减数列，且
，

∴
．∴
………………………………… 10分

∴
．……………………………………………… 12分

21．解析：　(1)f(x)的定义域为{x|x≠－1}．∵f(x)＝x2－2x－ln(x＋1)2，（2分）

∴f′(x)＝2x－2－＝，解

得－＜x＜－1或x＞， （4分）

∴f(x)的单调递增区间是(－，－1)和(，＋∞)． （5分）

(2)由已知得F(x)＝x－ln(x＋1)2＋a，且x≠－1，

∴F′(x)＝1－＝.∴当x＜－1或x＞1时，F′(x)＞0；

当－1＜x＜1时，F′(x)＜0. （5分）

∴当－＜x＜1时，F′(x)＜0，此时，F(x)单调递减；

当1＜x＜2时，F′(x)＞0，此时，F(x)单调递增． （7分）

∵F＝－＋2ln 2＋a＞a，F(2)＝2－2ln 3＋a＜a，∴F＞F(2)．

∴F(x)在上只有一个零点?或F(1)＝0. （10分）

由得－2ln 2≤a＜2ln 3－2；由F(1)＝0得a＝2ln 2－1.

∴实数a的取值范围为－2ln 2≤a＜2ln 3－2或a＝2ln 2－1. （12分）

22．解析：　(1)由已知得解得（3分）

∴b2＝a2－c2＝1，故椭圆Γ的方程为＋y2＝1. （5分）

(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x2＋y2＝r2(0＜r＜1)．

当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋t，

由消去y整理得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.① （7分）

∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，

∴x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，即(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0.②

将①代入②得－＋t2＝0，

即t2＝(1＋k2)． （9分）

∵直线PQ与圆x2＋y2＝r2相切，∴r＝＝＝∈(0,1)，

∴存在圆x2＋y2＝满足条件． （11分）

当直线PQ的斜率不存在时，也适合x2＋y2＝. （13分）

综上所述，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件． （14分）