一、选择题（题型注释）

1．设集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数满足
，则复数的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设等差数列
的前项和为
，若
，
，则
（ ）．

A．27 B．36 C．42 D．63

4．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）

A．5 B．6 C．
D．

5．若双曲线
的渐近线与圆

相切，则双曲线的离心率为（ ）．

A．2 B．
C．
D．

6．若下面框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（ ）

A．
B．
　　　　 C．
　　　 D．

7．已知
中，
边的中点，过点的直线分别交直线
、
于点、，若
，
，其中
，则
的最小值是（ ）

A．1 B．
C．
D．

8．在平面直角坐标系中，不等式组
（为常数）表示

的平面区域的面积是9.那么实数的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 已知
，函数
的零点分别为
，函数
的零点分别为
，则
的最小值为（ ）

A．1 B．
C．
D．3

10．菱形ABCD的边长为
，
,沿对角线AC折成如图所示的四面体，二面角B-AC-D为
,M为AC的中点，P在线段DM上，记DP=x，PA+PB=y,则函数y=f(x)的图象大致为( )

二、填空题（题型注释）

11．已知
，则
的展开式中x的系数为 ．

12．某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）

13．已知平面区域
，直线
和曲线
有两个不同的交点，直线
与曲线
围成的平面区域为
，向区域内随机投一点，点落在区域
内的概率为
，若
，则实数的取值范围是 .

14．空间中任意放置的棱长为2的正四面体
.下列命题正确的是_________.（写出所有正确的命题的编号）

①正四面体
的主视图面积可能是
；

②正四面体
的主视图面积可能是
；

③正四面体
的主视图面积可能是
；

④正四面体
的主视图面积可能是2

⑤正四面体
的主视图面积可能是.

15．（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系

中，曲线
与
的交点的极坐标为________

(2) （不等式选讲选做题）对于任意

恒成立，则实数a的取值范围______

三、解答题（题型注释）

16．已知
为单调递增的等比数列，且
，
，
是首项为2，公差为
的等差数列，其前项和为
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）当且仅当
，
，
成立，求
的取值范围.

17．如图，△ABC中．角A、B、C所对边的长分别为a、b、c满足c=l，
以AB为边向△ABC外作等边三角形△ABD．

(1)求∠ACB的大小；

(2)设∠ABC=
．试求函数
的最大值及
取得最大值时的
的值．

18．某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有
两条巷道通往作业区(如下图)，
巷道有
三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是
；
巷道有
两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为
．

（1）求
巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；

（2）若
巷道中堵塞点个数为
，求
的分布列及数学期望
，并按照＂平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线＂的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．

19．等边三角形
的边长为3,点、分别是边
、
上的点,且满足

(如图1).将△
沿
折起到△
的位置,使二面角
成直二面角,连结
、
(如图2).

（1）求证:
平面
；

（2）在线段
上是否存在点,使直线
与平面
所成的角为
?若存在,求出
的长,若不存在,请说明理由.

20．如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，其上顶点为
已知
是边长为的正三角形．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
任作一动直线
交椭圆
于
两点，记
．若在线段
上取一点，使得
，当直线
运动时，点在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．

21．已知函数
，
．

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）已知点
和函数
图象上动点
，对任意
，直线
倾斜角都是钝角，求的取值范围．

南昌二中2014届高三第十一次模拟考试试题

数学(理)参考答案

【解析】

试题分析：由题知，
，
，
，
.

，

又

故选B．

考点：1、函数的零点；2、指数运算；3、函数的最值.

10．D

【解析】因为
.
，

由题意可得
.
.

所以
.由于两个函数的对称轴分别为
或
.所以图象的走向为选项D所示.

【考点】1.立几中的线面关系.2.函数的图象近似判断.3.函数关系式的建立.

11．

12．24

13．

14．①②③④

【解析】对于四面体
，如下图：

当光线垂直于底面
时，主视图为
，其面积为
，③正确；

当光线平行于底面
，沿
方向时，主视图为以
为底，正四面体的高
为高的三角形，则其面积为
，②正确；

当光线平行于底面
，沿
方向时，主视图为图中△
，则其面积为
，①正确；

将正四面体放入正方体中，如上右图，光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，其面积为
，并且此时主视图面积最大，故④正确，⑤不正确.

【考点】1.几何体的三视图；2.几何图形的面积.

15．①
②

（2）因为
[－1,1]，所以对于任意

恒成立，

即5-2

，而5-2
最小值为3，所以3
，解得，实数a的取值范围是
。

考点：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，绝对值不等式的性质，三角函数的图象和性质。

点评：中档题，（2）是恒成立问题，这类题目的一般解法是转化成求函数的最值问题，本题转化成求5-2
最小值，是问题易于得解。

16．（1）
；（2）
的取值范围为

【解析】

试题分析：（1）
为单调递增的等比数列，说明
，又根据
，
，

列出关于
的方程组，解出
，最后根据等比数列的性质，求出

（2）由题意
是首项为2，公差为
的等差数列，写出
的表达式，代入
，整理得
，按照当且仅当
，
，列出不等式组，求出
的取值范围.

试题解析：（1）因为
为等比数列，所以

所以

所以
为方程
的两根；

又因为
为递增的等比数列， 所以
从而
，

所以
；

（2）由题意可知：
，
，

由已知可得：
，

所以
，

当且仅当
，且
时，上式成立，

设

，则
，

所以

，

所以
的取值范围为
.

考点：等比数列的性质，等差数列的前n项和公式，整系数二次函数的性质.

17．（1）
；（2）当
时，
取得最大值3.

【解析】

试题分析：本题主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用、倍角公式、两角和与差的正弦公式、三角函数最值等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，利用余弦定理直接求
，在三角形内解角C的大小；第二问，在三角形BCD中利用余弦定理先得到
的表达式也就是
，再在三角形ABC中利用正弦定理得到a的表达式，代入到
中，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简
，由题意，
，求函数
的最大值.

试题解析：⑴在
中，

∴∠
4分

⑵由正弦定理知
6分

∴

10分

由于
，故仅当
时，
取得最大值3. 12分

考点：1.余弦定理；2.正弦定理；3.倍角公式；4.两角和的正弦公式；5.三角函数最值.

18．（1）三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率为
；（2）选择
巷道为抢险路线为好，该巷道平均堵塞点少.

【解析】

试题分析：（1）
巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率
；

（2）若
巷道中堵塞点个数为
，先写出
的分布列，根据分布列求出数学期望
，同样的方法求出
,而
，所以选择
巷道为抢险路线为好．

试题解析：（1）设
巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞为事件

则

（2）依题意,
的可能取值为0,1,2

所以,随机变量
的分布列为:

0

1

2















(方法一)设
巷道中堵塞点个数为,则的可能取值为0,1,2,3

所以,随机变量的分布列为:

 0

 1

 2

 3

















因为
,所以选择
巷道为抢险路线为好.

(方法二)设
巷道中堵塞点个数为,则随机变量
,所以,

因为
,所以选择
巷道为抢险路线为好.

考点：分布列、数学期望.

19．(1)参考解析； （2）

【解析】

试题分析：(1) 由

，等边三角形
的边长为3.所以可得
,所以在三角形ADE翻折过程中
始终成立.又由于
成直二面角.由平面与平面垂直的性质定理可得
平面
.

（2）由于平面
平面BCED.假设存在点P，过点P作BD的垂线，垂足为H.则
为所求的角.假设BP的长为x，根据题意分别求出相应的线段
.即可得结论.

(1) 因为等边△
的边长为3,且

,

所以
,
．

在△
中,
,

由余弦定理得
．

因为
,

所以
． （4分）

折叠后有



因为二面角
是直二面角,所以平面
平面

又平面

平面

,
平面
,
,

所以
平面
（6分）

（2）由(1)的证明,可知
,
平面
．

以为坐标原点,以射线
、
、
分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系
如图



设

,

则
,
,

所以
,
,

所以
（8分）

因为
平面
,

所以平面
的一个法向量为

因为直线
与平面
所成的角为
,

所以

, （10分）

解得

即
,满足
,符合题意

所以在线段
上存在点,使直线
与平面
所成的角为
,此时
（12分）

考点：1.线面垂直.2.图形的翻折问题.3.线面角.4.空间想象力.

20．（1）椭圆
的方程为
；（2）定直线的方程为
.

【解析】

试题分析：（1）因为
是边长为2的正三角形，所以
，椭圆
的方程为
；（2