淮安市2013—2014学年度高三年级5月信息卷

2014.5

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合
，则
Z= ▲ ．

2．函数
的最小正周期为 ▲ ．

3．已知复数

为虚数单位
，若
为纯虚数，则
＝ ▲ ．

4．在平面直角坐标系
中，抛物线
上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3，则抛物线的焦点坐标为 ▲ ．

5．在如图所示的算法流程图中，若输入m＝4，n＝3，则输出的a＝ ▲ ．

6．在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的
，且中间一组的频数为25，则样本容量为 ▲ ．

7．棱长为
的正四面体的外接球半径为 ▲ ．

8．若关于的方程
在区间
上有两个不同的实数解，则实数
的取值范围为 ▲ ．

9．已知集合
，则从中任选一个元素
满足
的概率为 ▲ ．

10．已知直线

，若对任意
，直线
与一定圆相切，则该定圆方程为 ▲ ．

11．已知函数
|的定义域和值域都是
，则
＝ ▲ ．

12．在
中，
，
，
，若点
满足
，且
，则
＝ ▲ ．

13．已知函数
，
.若存在
使得
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

14. 已知数列
是各项均不为
的等差数列，
为其前项和，且满足
．若不等式
对任意的
恒成立，则实数的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15． (本小题满分14分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
．

（1）求证：
；

（2）若
，且
，求
的值．

16．(本小题满分14分)

在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且
．

（1）求证：EF∥平面BDC1；

（2）求证：
平面
．

17．(本小题满分14分)

某小区想利用一矩形空地
建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中
，
，且
中，
，经测量得到
．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一直线交
于
，从而得到五边形
的市民健身广场，设
．

（1）将五边形
的面积表示为的函数；

（2）当为何值时，市民健身广场的面积最大？并

求出最大面积．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系
中，已知椭圆的焦点在轴上，离心率为
，且经过点
．

（1）求椭圆的标准方程；

（2） 以椭圆的长轴为直径作圆，设为圆
上不在坐标轴上的任意一点，
为轴上一点，过圆心作直线
的垂线交椭圆右准线于点
．问：直线
能否与圆总相切，如果能，求出点
的坐标；如果不能，说明理由．

19．（本小题满分16分）

如果数列
满足：
且
，则称数列
为阶“归化数列”．

（1）若某4阶“归化数列”
是等比数列，写出该数列的各项；

（2）若某11阶“归化数列”
是等差数列，求该数列的通项公式；

（3）若
为n阶“归化数列”，求证：
．

20．（本小题满分16分）

已知函数
（
R），
为其导函数，且
时
有极小值
．

（1）求
的单调递减区间；

（2）若
，
，当
时，对于任意x，
和
的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；

（3）若不等式
（
为正整数）对任意正实数恒成立，求
的最大值．

淮安市2013-2014学年度高三年级信息卷

数学Ⅱ试题 2014.05

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4-1：几何证明选讲]

如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是
与⊙O的交点．若
，
，求证：
．

B．[选修4-2：矩阵与变换]

已知矩阵
，求点
在矩阵
对应的变换作用下得到的点
坐标．

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系
中，直线的参数方程是
（t是参数）， 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，且直线与圆C相切，求实数m的值．

D．[选修4-5：不等式选讲]

已知
均为正数，证明：
．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：

奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．

（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；

（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

（1）已知
，求证：
；

（2）已知
，且
，

求证：
．

淮安市2013-2014学年度高三年级信息卷

数学参考答案与评分标准

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．
2．
3.
4.
5．12 6．100 7．
8.

9．
10．
11．1 12 ．
13.
14.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（1）因为
……………2分

所以
,由正弦定理可得，
………………………………………………4分

因为
，

所以
，即
………………………………………………………………………6分

（2）因为
，且
，所以B不是最大角，

所以
．………………………………………………………………8分

所以
，得
，因而
．………………………………………10分

由余弦定理得
，所以
．…………………………………………12分

所以

即
……………………………………………………………………………………14分

16．（1）证明：取
的中点M，因为
，所以为
的中点，

又因为为
的中点，所以
，………………2分

在正三棱柱
中，
分别为
的中点，

所以
，且
，则四边形A1DBM为平行四边形，

所以
，所以
， ………………………………………………………………5分

又因为
平面
，
平面
，所以，
平面
…………………………7分

（2）连接
，因为在正三角
中，为
的中点，

所以，
，所以，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
面
，

所以，
，因为
，所以，四边形
为正方形，由
分别为
的中点，所以，可证得
，

所以，
面
，即
，……………………11分

又因为在正方形
中，
，所以
面
,…………………………………14分

17．（1）作GH⊥EF，垂足为H，

因为
，所以
，因为

所以
，所以
………………2分

过
作
交
于T，

则

，

所以

…………………………………………………………………………7分

由于与重合时，
适合条件，故
,………………………………………8分

（2）
，……………………………10分

所以当且仅当
，即
时，取得最大值2000， ……………13分

所以当
时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为
．…………………14分

18．（1）设椭圆方程为
，因为经过点
，所以，
，

又因为
，可令
，所以，
，即
，

所以椭圆的标准方程为
．…………………………………………………………………6分

（2）存在点
………………………………………………………………………………7分

设点
，
，因为在以椭圆的长轴为直径作圆上，且不在坐标轴上的任意点，

所以
且
，又因为
，

由
，所以，
，所以直线
的方程为
， …………………10分

因为点
在直线
上，令
，得
，

即
，………………………………………………………………………………12分

所以

，

又
，
与圆总相切，故
，于是有
，

，即
恒成立，解之可得
，

即存在这样点
，使得
与圆总相切．…………………………………………………16分

19．（1）设
成公比为的等比数列，显然
，则由
，

得
，解得
，由
得
，解得
，

所以数列
或
为所求四阶“归化数列”；…… ………………………4分

（2）设等差数列
的公差为，由
，

所以
，所以
，即
，………………………………………6分

当
时，与归化数列的条件相矛盾，

当
时，由
，所以
，

所以
…………………………………………………8分

当
时，由
，所以
，

所以
（n∈N*，n≤11），

所以
（n∈N*，n≤11），…………………………………………………10分

（3）由已知可知，必有ai>0，也必有aj<0(i，j∈{1，2，…，n