2014年蒙山县高考模拟考试试题

理科数学

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合

A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}

2、若复数z满足
，则z的虚部为

A．
B．
C．
D．

3、函数
的反函数是

A．
B．

C．
D．

4、在等差数列{
}中，若
，则
的值为

A．7 B．8 C．9 D．10

5、某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生．那么不同的选派方法共有

A．14种 B．28种 C．32种 D．48种

6、设向量
的模分别为6和5，夹角为
等于

A．
B．
C．
D．

7、函数
的图象恒过定点A，若点A在直线
上，其中
的最小值为

A．1 B．2 C．3 D．4

8、过原点作圆
的两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为

A． B．
C．
D．

9、双曲线
的左、右焦点分别是
、
，过
垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若
为正三角形，则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

10、已知函数
，则要得到其导函数
的图象，只需将函数
的图象

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

11、在矩形
中,
在
上截取
,沿
将
翻折得到
,使点
在平面
上的射影落在
上,则二面角
的平面角的余弦值为

A．
B．
C．
D．

12、若函数
满足
，当x∈[0，1]时，
，若在区间(-1，1]上， 方程
有两个实数解，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷相应位置上.）

13、设变量
满足约束条件:
,则
的最小值 ▲

14、已知
（为锐角）， 则
▲

15、
的展开式中一次项的系数为
,则
的系数为 ▲

16、半径为4的球面上有
四点,且满足
, 则
的最大值为(
为三角形的面积)______ ▲_______ .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请把解答过程写在答题卷相应位置上.）

17. （本小题满分10分）在试题卷上作答无效

设
的内角A，B，C所对的边分别为

（I）求角A的大小；

（II）若
，求
的周长
的取值范围.

18. （本小题满分12分）在试题卷上作答无效

已知数列

（I）求证数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

（II）令
， 求数列
的前项和
.

19．（本小题满分12分）在试题卷上作答无效

如图，已知四棱锥
的底面为菱形，且∠
=600，
,
．

（I）求证：平面
⊥平面
；

（II）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）在试题卷上作答无效

春节期间，某商场进行促销活动，方案是：顾客每买满200元可按以下方式摸球兑奖：箱内装有标着数字20，40，60，80，1 00的小球各两个，顾客从箱子里任取三个小球，按三个小球中最大数字等额返还现金（单位：元），每个小球被取到的可能性相等．

（I）若有三位顾客各买了268元的商品，求至少有二个返奖不少于80元的概率；

（II）在（I）的条件下，设返奖不少于80元的人数为
，求
的数学期望．

21．（本小题满分12分）在试题卷上作答无效

如图，设椭圆C：
的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在轴负半轴上有一点B，满足
，且

（I）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线
y－3=0相切，求椭圆C的方程；

（II）在（I）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在轴上是否存在点
使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由．

22. （本小题满分12分）在试题卷上作答无效

已知函数

（Ⅰ）试判断函数
上单调性并证明你的结论；

（Ⅱ）若
恒成立，求整数k的最大值；

（Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3.

2014年蒙山县高考模拟考试试题

理科数学参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

D

B

C

A

C

B

B

A

C

C

A



二、填空题

13、 -8 14、
15、 39 16、32

三、解答题

19、解法1：（1）证明：取AB的中点O，连接EO,CO

∵
，AB=2 ∴△ABC为等腰三角形

∴
,EO=1 又∵AB=BC，∠ABC=600

∴△ABC为等边三角形 ∴
,又EC=2

∴
即
，

平面ABCD，且
平面EAB

∴ 平面EAB⊥平面ABCD， ……………6 分

（2）过A作AH⊥CE于H点，过H作HM//CD,

又Rt△EDO解得DE=
， 所以

即
,所以MH⊥CE,因此∠AHM为二面角
的平面角，

通过计算知
,
,
，所以

所以二面角
的余弦值为
……………12分

解法2.（1）设AC∩BD=O，如图，以O为原点，

OC,OB为x,y轴建立空间直角坐标系O-xyz

设E(m,n,t),则

A(-1,0,0)，C(1,0,0)，

B(0,
,0), D(0,-
,0),

∴
,
,

所以
解得：

所以
,因为AB的中点
,所以

即ME⊥平面ABCD，又
平面EAB，所以平面EAB⊥平面ABCD ……6分

（2）
,
,
，

分别设平面AEC,平面ECD的法向量为

则
令y= -2，得

令
，

所以二面角
的余弦值为
……………12分

20、（1）设“返奖80元”为事件A，“返奖100元”为事件B，则

,

故每位顾客返奖不少于80元的概率为

至少有二位顾客返奖不少于80元的概率为
……………6分

(2)解法一：
的取值为0,1,2,3，则

，

，

的分布列为：

0

1

2

3



P













解法二：由题意得
，

……………12分

21.解:

12分

22. 解：（I）

上递减.

……………3分

（II）

则
上单调递增，

又

存在唯一实根a，且满足

当

∴

故正整数k的最大值是3 . ……………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

∴

令
，则

∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]

∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3 ……………12分