一、选择题（题型注释）

1．设集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
的计算结果是（ ）

A．
B．
C． D．

3．若双曲线
的离心率为
，则m=

A．
B．3 C．
D．2

4．设等差数列{
}的前n项和为Sn，若a1=1，a2+a3=11，则S6一S3=

A．27 B．39 C．45 D．63

5．某几何体的三视图如题（6）所示，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（ ）

A．1 B．
C．
D．

6．若直线
与圆
相切，且
为锐角，则这条直线的斜率是( )

A．
B．
C．
D．

7．若下面框图所给的程序运行结果为
,那么判断框中应填入的关于
的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
中，
边的中点，过点的直线分别交直线
、
于点、，若
，
，其中
，则
的最小值是（ ）

A．1 B．
C．
D．

9．设
满足不等式组
，若
的最大值为
，最小值为
，则实数的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

10．已知
为
的导函数，则
的图象大致是（ ）

二、填空题（题型注释）

11．若
，则
.

12．直线
与椭圆
相交于、两点，过点作轴的垂线，垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ．

13．在已知平面区域
，直线
和曲线
有两个不同的交点，直线
与曲线
围成的平面区域为
，向区域内随机投一点，点落在区域
内的概率为
，若
，则实数的取值范围是 .

14．函数
，若不等式
的解集为
，则实数的值为 .

15．空间中任意放置的棱长为2的正四面体
.下列命题正确的是_________.（写出所有正确的命题的编号）

①正四面体
的主视图面积可能是
；

②正四面体
的主视图面积可能是
；

③正四面体
的主视图面积可能是；

⑤正四面体
的主视图面积可能是

⑥正四面体
的主视图面积可能是.

三、解答题（题型注释）

16．已知函数
．

（1）设
，且
，求
的值；

（2）在△ABC中，AB=1，
，且△ABC的面积为
，求sinA+sinB的值．

17．已知数列
的前n项和为
满足：
．

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）令
，对任意
，是否存在正整数m，使
都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．

（1）求证： AC⊥DE；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积．

19．一个均匀的正四面体面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为
．

(1)记
，求
的概率；

(2)若方程
至少有一根
，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．

20．已知椭圆

的左焦点为,左、右顶点分别为
,过点且倾斜角为
的直线
交椭圆于
两点,椭圆
的离心率为
,
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若
是椭圆上不同两点，

轴，圆过点
，且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的内切圆．问椭圆
是否存在过点的内切圆？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

21．已知函数
，
．

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）已知点
和函数
图象上动点
，对任意
，直线
倾斜角都是钝角，求的取值范围．

南昌二中2014届高三第十一次模拟考试试题

数学(文)参考答案

1．A 2．（B） 3．B 4．B 5．C 6．A 7．（D）

8．A

【解析】

试题分析：由已知得：
，因为D、E、F三点共线，所以
，由重要不等式得：
.

考点：向量的运算.

9．B

10．A

【解析】因为，
，所以，
为奇函数，其图象关于原点对称．可排除
；由于
时，
，

即
的图象位于轴下方，故选．

考点：函数的奇偶性、单调性，导数的计算．

11．

12．

13．

14．3

当光线平行于底面
，沿
方向时，主视图为图中△
，则其面积为
，①正确；

将正四面体放入正方体中，如上右图，光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，其面积为
，并且此时主视图面积最大，故③正确，④⑤不正确.

考点：1.几何体的三视图；2.几何图形的面积.

16．（1）
，（2）

【解析】

试题分析：（1）研究三角函数性质，首先将三角函数化为基本三角函数形式，即：
=
=
．再由
得
于是
，因为
，所以
．（2）解三角形，基本方法利用正余弦定理进行边角转化. 因为△ABC的面积为
，所以
，于是
.因为
，由（1）知
．由余弦定理得
，所以
．可得
或
由正弦定理得
,所以
．

【解】（1）
=
=
．

由
，得
，

于是
，因为
，所以
．

（2）因为
，由（1）知
．

因为△ABC的面积为
，所以
，于是
. ①

在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.

由余弦定理得
，所以
． ?②

由①②可得
或
于是
．

由正弦定理得
，

所以
．

考点：三角函数性质，正余弦定理

17．（1）详见解析；（2）m的值为1，2，3．

【解析】试题分析：（1）首先由题设找到
与
间的关系，然后证明
是一个常数.（2）首先求得

，由此得
，用裂项法可求得和
.由
对任意
都成立，得
，即
对任意
都成立，所以小于等于
的最小值.

（1）当
时，
，解得
， 1分

当
时，由
得
， 2分

两式相减，得
，即
（
）， 3分

则
，故数列
是以
为首项，公比为3的等比数列． 4分

（2）由（1）知
，

， 6分

所以
， 7分

则
， 8分

由
对任意
都成立，得
， 10分

即
对任意
都成立，又
，

所以m的值为1，2，3． .12分

考点：1、等比数列；2、裂项法求和；3、不等关系.

18．（1）详见解析，（2）
.

【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质与判定定理进行转化. 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC．因而AC⊥平面PDB，从而AC⊥DE．（2）设AC与BD相交于点F．连EF．由（1），知AC⊥平面PDB，所以AC⊥EF．所以S△ACE＝
AC·EF，因此△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．由△PDB∽△FEB，解得PD＝
，因为PD⊥平面ABCD，所以VP—ABCD＝
S□ABCD·PD＝
×24×
＝
．

（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．

因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．

而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．

E为PB上任意一点，DE平面PBD，所以AC⊥DE．

（2）连EF．由（1），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF． S△ACE＝
AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．

S△ACE＝3，
×6×EF＝3，解得EF＝1．

由△PDB∽△FEB，得
．由于EF＝1，FB＝4，
，

所以PB＝4PD，即
．解得PD＝

VP—ABCD＝
S□ABCD·PD＝
×24×
＝
．

考点：线面垂直性质与判定定理，四棱锥体积

19．(1)
；(2)
．

【解析】

试题分析：（1）由于要将均匀的面上分别涂有1、2、3、4四个数字的正四面体随机投掷两次，故基本事件共有4×4=16个，然后求出
时，基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到结果；（2）分类讨论方程根分别为1，2，3，5时，基本事件的个数，然后代入古典概型公式即可得到结果．

(1)因为是投掷两次，因此基本事件
共有16个，

当
时，
的所有取值为(1,3)，(3,1)，

所以
．

(2)①若方程一根为
，则
，即
，不成立．

②若方程一根为
，则
，即
，所以
．

③若方程一根为
，则
，即
，所以
．

④若方程一根为
，则
，即
，所以
．

综合①②③④知，
的所有可能取值为(1,2)，(2,3)， (3, 4)，所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为
．

考点：1．创新能力；2．古典概型．

20．（1）
；（2）存在

【解析】试题分析：（1）由离心率为
，倾斜角为
的直线
交椭圆于
两点，
.通过联立直线方程与椭圆的方程，可求得
的值.即可得结论.

（2）依题意可得符合要求的圆E，即为过点,
的三角形的外接圆.所以圆心在x轴上.根据题意写出圆E的方程.由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到点距离的最小值是
，结合图形可得圆心E在线段
上，半径最小.又由于点F已知，即可求得结论.

试题解析：（1）因为离心率为
，所以
，

所以椭圆方程可化为：
，直线
的方程为
， 2分

由方程组
，得：
,即
, 4分

设
，则
， 5分

又
，

所以
，所以
，椭圆方程是
； 7分

（2）由椭圆的对称性，可以设
，点在轴上，设点
，

则圆的方程为
，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点距离的最小值是
，

设点
是椭圆
上任意一点，则
, 9分

当
时，
最小，所以
① 10分

又圆过点，所以
② 11分

点
在椭圆上，所以
③ 12分

由①②③解得：
或
，

又
时，
，不合，

综上：椭圆
存在符合条件的内切圆，点的坐标是
． 13分

考点：1.待定系数求椭圆方程.2.函数的最值.3.方程的思想解决解决解几问题.3.归纳化归的思想.4.运算能力.

21．（1）单调递增区间为
，单调递减区间为
；（2）

【解析】

试题分析：（1）先求导，再令导数等于0，解导数大于0得函数的增区间，解导数小于0得函数的减区间。（2）可将问题转化为在
上
恒成立问题，即在
上
。先求导
，因