2014北京市高考压轴卷

文科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知
，其中
是实数，是虚数单位，则
的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知函数
，
，且
，
，
，则
的值为

A.正 B.负 C.零 D.可正可负

3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）

A．4+
B．4+
C．4+
D．4+

4.如图所示为函数
的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么
( )

A．-1 B．

C．
D．1

5.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；

②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

③若m、n是两条异面直线，mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，则n⊥α．

其中正确命题的个数是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4



6.设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为

A．
???? B．
????? C．
? ??? D．

7. 已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若
，线段AB的中点到直线
的距离为1，则p的值为（　　）

A．

1

B．

1或3

C．

2

D．

2或6





8. 已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：

①f（0）f（1）＞0；

②f（0）f（1）＜0；

③f（0）f（3）＞0；

④f（0）f（3）＜0．

其中正确结论的序号是（　　）

A．

①③

B．

①④

C．

②③

D．

②④





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．

9.已知集合
，若
，则实数的值为________________.

10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a指向①时输出的结果S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果S＝n，求m＋n的值．

11.若
是等差数列
的前项和,且
，则
的值为 ．

12. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是________________.

13.在平面直角坐标系
中，过坐标原点的一条直线与函数
的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_______

14.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

15.已知向量
．记

(I)求
的周期；

(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a—c)
B=b
， 若
，试判断ABC的形状．

16. 某校要从2名男同学和4名女同学中选出2人担任羽毛球比赛的志愿者工作，每名同学当选的机会均相等．

（Ⅰ）求当选的2名同学中恰有l名男同学的概率；

（Ⅱ）求当选的2名同学中至少有1名女同学的概率．

17. 如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．

（1）求证：B1B∥平面D1AC；

（2）求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1．

18.已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
为短轴的一个端点，
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点
，且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点，为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为，记直线
的斜率为
.

求证:
为定值.

19.已知数列
的各项均为正数，记
,
,

.

（Ⅰ）若
，且对任意
，三个数
组成等差数列，求数列
的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列
是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意
，三个数
组成公比为的等比数列.

20. 已知函数
，

，令
.

(Ⅰ)当
时，求
的极值；

(Ⅱ)当
时，求
的单调区间；

(Ⅲ)当
时，若对
，使得
恒成立,求的取值范围.

2014北京市高考压轴卷数学文word版参考答案

1. 【答案】D

【解析】
故选D．

2. 【答案】B

【解析】∵
，∴函数
在R上是减函数且是奇函数，

∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，

同理：
，
，∴
.

3. 【答案】A

【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分
，所以该几何体的体积为
．故选A．

4. 【答案】A.

【解析】

5. 【答案】C

【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误

②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确

③过直线m作平面γ交平面β与直线c，

∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，

∵m∥β，mγ，γ∩β=c∴m∥c，

∵mα，cα，∴c∥α，

∵nβ，cβ，n∩c=O，c∥α，n∥α

∴α∥β；故③正确

④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，∴n⊥α．故④正确

故正确命题有三个，

故选C

6. 【答案】C.

【解析】由
，
得：
，即
，令
，则当
时，
，即
在
是减函数，
?，
，
，

在
是减函数，所以由
得，
，即
，故选

7. 【答案】B.

【解析】分别过A、B作交线l：x=﹣
的垂线，垂足分别为C、D，

设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）

根据抛物线的定义，得

∴梯形ACDB中，中位线MN=
（
）=2，

可得x0+
=2，x

∵线段AB的中点M到直线
的距离为1，可得|x0﹣
|=1

∴|2﹣p|=1，解之得p=1或3

故选：B

8. 【答案】C.

【解析】求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）

∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．

∴a＜1＜b＜3＜c

设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc

∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc

∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9

∴b+c=6﹣a

∴bc=9﹣a（6﹣a）＜

∴a2﹣4a＜0

∴0＜a＜4

∴0＜a＜1＜b＜3＜c

∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0

∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0

故选C．

9. 【答案】a=-1.

【解析】?若a-3=-3,则a=0，此时：

,
,与题意不符，舍

?若2a-1=-3,则a=-1，此时：

，
， a=-1

?若a2+1=-3,则a不存在

综上可知：a=-1

10. 【答案】20.

【解析】当箭头指向①时，计算S和i如下．

i＝1，S＝0，S＝1；

i＝2，S＝0，S＝2；

i＝3，S＝0，S＝3；

i＝4，S＝0，S＝4；

i＝5，S＝0，S＝5；

i＝6结束．

∴S＝m＝5．

当箭头指向②时，计算S和i如下．

i＝1，S＝0， S＝1；

i＝2，S＝3；

i＝3，S＝6；

i＝4，S＝10；

i＝5，S＝15；

i＝6结束．

∴S＝n＝15．

∴m＋n＝20．

11. 【答案】44

【解析】由
,解得
,又由

12. 【答案】6.

【解析】每个个体被抽到的概率等于
=
，而中型超市有120家，故抽取的中型超市数是 120×
=6

13.【答案】4.

【解析】设过坐标原点的一条直线方程为
，因为与函数
的图象交于P、Q两点，所以
，且联列解得
，所以

14. 【答案】

【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．

（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．

考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（
，0），

∴a＞1；

考查函数y2=x 2﹣ax﹣1，显然过点M（
，0），代入得：
，

解之得：a=
，或a=0（舍去）．

故答案为：

15. 【解析】

（I）

（Ⅱ 根据正弦定理知：

∵
∴
或

或

而

，所以
，因此ABC为等边三角形.……………12分

16. 【解析】（I）所有的选法共有
=15种，

当选的2名同学中恰有1名男同学的选法有
?
=8种，

∴当选的2名同学中恰有1名男同学的概率为
．

（II）所有的选法共有
=15种，

当选的2名同学中恰有2名女同学的选法有
=6种，

当选的2名同学中恰有1名女同学的选法有
?
=8种，

故当选当选的2名同学中至少有1名女同学的选法有6+8=14种，

故当选的2名同学中至少有1名女同学的概率为
．

17. 【解析】证明：（1）设AC∩BD=E，连接D1E，

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1．

∴B1D1∥BE，∵B1D1=BE=
，

∴四边形B1D1EB是平行四边形，

所以B1B∥D1E．

又因为B1B?平面D1AC，D1E?平面D1AC，

所以B1B∥平面D1AC

（2）证明：侧棱DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴AC⊥DD1．

∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．

∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，

∴AC⊥平面B1BDD1

∵AC?平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1．

18. 【解析】（Ⅰ）由条件
…………2分

故所求椭圆方程为
. …………4分

（Ⅱ）设过点
的直线
方程为：
. …………5分

由
可得：
…………6分

因为点
在椭圆内，所以直线
和椭圆都相交，即
恒成立.

设点
，则

. …………8分

因为直线
的方程为：
，

直线
的方程为：
， ………9分

令
，可得
，
，

所以点的坐标
. ………10分

直线
的斜率为

…………12分

所以
为定值
. …………13分

19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意
，三个数
是等差数列，

所以
. ………1分

所以
, ………2分

即
. ………3分

所以数列
是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分

所以
. ………5分

（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意
，三个数
组成公比为的等比数列，则

　　　
. ………6分

所以
得

即
. ………7分

　　 因为当
时，由
可得
， ………8分

所以
.

因为
，

所以
.

即数列
是首项为
，公比为的等比数列， ………9分

（２）必要性：若数列
是公比为的等比数列，则对任意
，有

. ………10分

因为
，

所以
均大于
.于是

　　　　
………11分

　　　　
………12分

即
＝
＝，所以三个数
组成公比为的等比数列.

………13分

综上所述，数列
是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数
组成公比为的等比数列. ………14分

20. 【解析】