2014年上海高考数学押题卷（理）

考生注意：

1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.

填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

函数
的定义域为_____________

已知是抛物线
的焦点，
在抛物线上，M（3,2）为线段AB的中点，则
的面积为_____________

已知
是定义在上的奇函数.当
时，
，则不等式
的解集是_____________

已知数列
其前项和为
，且

，则数列
的通项公式为_____________

零向量
满足
,则
夹角的取值范围是_____________

在
的展开式中含有
，则
=_____________

已知复数
，则b的取值范围是_____________

已知
_____________

红、黄、蓝三色灯泡分别有3、2、2支，把它们挂成一排，要求红色灯泡不能全部相邻，则看到的不同效果有_____________个。

已知函数
（其中
，
，
)的部分图象如图所示。如果对函数g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f(x)函数的图像，则函数g(x)的解析式是_____________

在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为______________

若
展开式中
项的系数，则
=_____________

若点
在曲线
（
为参数，
）上，则
的取值范围是_____________

已知F1、F2是双曲线
(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线
对称,,则该双曲线的离心为_____________

选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

“
”是
的 （ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

若函数
的导函数在区间
上的图像关于直线
对称，

则函数
在区间
上的图象可能是 （ ）

A．①④ B．②④ C．②③ D．③④

已知和是两条不同的直线，和
是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出
的是 （ ）

（A）
且
（B）
且

（C）
且
（D）
且

若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列{}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是 （ ）

A．10 B．100 C．200 D．400

解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

（本题满分12分）

如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为
上的点， 点M为BC中点．

（I）求证：B1M∥平面O1AC；

（II）若AB＝AA1，∠CAB=30°，求二面角C-AO1 -B的余弦值．

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
在
上有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1 ，y1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．

（1）若x1＝，求x2；

△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．

(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.

在数列
中，a1=2，b1=4，且
成等差数列，
成等比数列（
）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

在平面直角坐标系xOy中．已知
，平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4记动点P的轨迹为D．

（I）求轨迹D的方程，

（Ⅱ）设过点E（0．1）且不垂直于坐标轴的直线
与轨迹D相交于A，B两点，若在y轴上存在一点Q，使得直QA，QB关于y轴对称．求出点Q的坐标；

（Ⅲ）是否存在不过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线
，它与轨迹D及圆
从左到右依次交于C，D，F，G四点，且满足
？若存在，求出当△OCG的面积S取得最小值时k2的值；若小存在，请说明理由．

2014年上海高考数学押题卷（理）

填空题

（2,3） 2.
3.

5.
6. 1

8.
9. 180

11. (，) 12. 18

13．
14．

选择题

15. A 16. D 17. C 18. B

解答题

（1）证明省略. （2）
．

（1）

（2）
．

（1）x2 = －； （2）tanα＝2．

（1）
;证明省略.

（2）证明省略.

（1）
（Ⅱ） Q(0,4). （Ⅲ）存在满足题意的直线；
.

============================= 详细解析见下 填空题

【 答案】 （2,3）

【 解析】

【 答案】

【 解析】

【 答案】

【 解析】

【 答案】

【 解析】

【 答案】

【 解析】

。

【 答案】 1

【 解析】

在
的展开式中含有

【 答案】

【 解析】

【 答案】

【 解析】

【 答案】 180

【 解析】

先无限制全排列，再剔除不符合条件的排列，最后再进行组合。

【 答案】

【 解析】

【 答案】 (，)

【 解析】

【 答案】 18

【 解析】

若
展开式中
项的系数，则

【 答案】

【 解析】

【 答案】

【 解析】由题知，
为渐近线方程，

【 答案】 A

【 解析】

【 答案】 D

【 解析】

由题知，
，

则函数
的图象在区间
上中心对称，图像③④符合，故选D 。

【 答案】 C

【 解析】

【 答案】 B

【 解析】

正项数列{}为“调和数列”，若数列{bn}为等差数列，90=b1＋b2＋…＋b9＝
，所以b4·b6的最大值为100，选B.

【 答案】（1）证明省略. （2）
．

【 解析】

【 答案】（1）

（2）
．

【 解析】

【 答案】（1）x2 = －； （2）tanα＝2．

【 解析】

（1）解法一：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．

所以sinα＝，cosα＝． ………………………3分

所以x2＝cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－． …………………………………6分

解法二：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．A(，)，则＝(，)，…………2分

＝(x2，y2)， 因为·＝||||cos∠AOB，所以x2＋y2＝ ……4分

又x22＋y22＝1，联立消去y2得50 x22－30x2－7＝0

解得x2＝－或，又x2＜0，所以x2＝－． ………………………6分

解法三：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝． 因此A(，)，所以tanα＝．………2分

所以tan(α＋)＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x ……………4分

由得x＝±，又x2＜0，所以x2＝－． …………………6分

（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α． …………………………………………8分

因为α(，)，所以α＋(，)．

所以S2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α．……………………………10分

因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分

所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－． 因为α(，)，所以tanα＝2．………14分

【答案】

（1）
;证明省略.

（2）证明省略.

【解析】

（Ⅰ）由条件得

由此可得

．

猜测
． 4分

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知
对一切正整数都成立． 7分

（Ⅱ）n≥1时，
．n≥2时，由（Ⅰ）知
．

故
15分

综上，原不等式成立． 16分

【答案】

（I）（1）

（Ⅱ） Q(0,4).

（Ⅲ）存在满足题意的直线；
.

【解析】