2014新课标1高考压轴卷

文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（　　）

A．

{5，7}

B．

{2，4}

C．

{2，4，8}

D．

{1，3，5，6，7}



2. 复数
的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（　　）

A．

（1，2）

B．

（2，﹣i）

C．

（2，1）

D．

（1，﹣2）





3.
的值为（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4



4. 函数f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），则f（x）﹣g（x）是（　　）

A．

奇函数

B．

偶函数



　

C．

既不是奇函数又不是偶函数

D．

既是奇函数又是偶函数



5. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是（　　）

A.4 B.6 C.7 D.12

6.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为( )

A.3π B.4π C.6π D.8π

7. 已知函数
的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（　　）

A．



B．



C．



D．

























8. “
”是“数列{an}为等比数列”的（　　）

A．

充分不必要条件

B．

必要不充分条件



　

C．

充要条件

D．

既不充分也不必要条件















9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（　　）

A．

2ab＞c2

B．

a2+b2＜c2

C．

2bc＞a2

D．

b2+c2＜a2





10. 等腰Rt△ACB，AB=2，
．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为（　　）

A．



B．



C．



D．







11.定义域为R的偶函数f（x）满足?x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18．若函数y=f（x）﹣loga（x+1）至少有三个零点，则a的取值范围是（　　）

A．

（0，
）

B．

（0，
）

C．

（0，
）

D．

（0，
）





12. 设双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若
=λ
+μ
（λ，μ∈R），λμ=
，则该双曲线的离心率为（　　）

A．



B．



C．



D．

























二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13. 函数
的最小值是

14.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S是________．

15.已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，
=m
，
=n
（m?n≠0），若
∥
，则
=___________________.

16. 设不等式组
表示的平面区域为M，不等式组
表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是________________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

17.已知
，
，其中
，函数
的最小正周期为.

(1)求
的单调递增区间；

(2)在
中，角，，
的对边分别为，
，．且
，
，求角、、
的大小．

18. 下表给出了从某校500名12岁男生中用简单随机抽样得出的120人的身高资料（单位：厘米）：

分组

人数

频率



[122,126)

5

0.042



[126,130)

8

0.067



[130,134 )

10

0.083



[134,138)

22

0.183



[138,142)



y



[142,146)

20

0.167



[146,150)

11

0.092



[150,154)

x

0.050



[154,158)

5

0.042



合计

120

1.00



（1）在这个问题中，总体是什么？并求出x与y的值；

（2）求表中x与y的值，画出频率分布直方图及频率分布折线图；

（3）试计算身高在146~154cm的总人数约有多少？

19.在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD， PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中点．

求证：（1）CE∥平面PAD；

（2）平面PBC⊥平面PAB．

20.在平面直角坐标系
中，从曲线上一点做轴和轴的垂线，垂足分别为
，点
（
为常数），且
（
）

（1）求曲线的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；

（2）当
且
时，将曲线绕原点逆时针旋转
得到曲线
，曲线与曲线
四个交点按逆时针依次为
，且点在一象限

①证明：四边形
为正方形； ②若
，求值．

21. 设函数
.

（1）若函数
在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（2）当a=1时，求函数
在区间[t，t+3]上的最大值.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.

22.已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，

弦BE与CD、AC 分别交于点M、N，且MN = MC

（1）求证：MN = MB；

（2）求证：OC⊥MN。

23.（本小题满分10分）已知直线的参数方程：
,曲线C的参数方程：
（为参数）,且直线交曲线C于A,B两点.（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求
时,|AB|的长度,；:（Ⅱ）已知点P:(1,0) , 求当直线倾斜角变化时,
的范围

24.已知函数
．

（1）若不等式
的解集为
，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数使
成立，求实数的取值范围.

2014新课标1高考压轴卷

文科数学参考答案

1. 【答案】C.

【解析】∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，

∴M∪N={1，3，5，6，7}，

∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，

∴Cu（M∪N）={2.4.8}

故选C

2. 【答案】C.

【解析】因为
，其共轭复数为2+i，即a+bi=2+i，所以a=2，b=1．

所以点（a，b）为（2，1）．

故选C．

3. 【答案】B.

【解析】解：2lg2﹣lg
=lg4+lg25=lg4×25=2lg10=2．

4. 【答案】A.

【解析】∵f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），

∴f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣1，1）

记F（x）=f（x）﹣g（x）=log2
，

则F（﹣x）=log2
=log2（
）﹣1=﹣log2
=﹣F（x）

故f（x）﹣g（x）是奇函数．

故选A

5. 【答案】B.

【解析】每个个体被抽到的概率等于
=
，而中型超市有120家，故抽取的中型超市数是 120×
=6，

故选B．

6. 【答案】B.

【解析】

7. 【答案】C.

【解析】由函数的图象可得A=2，根据
=
=
=
，求得ω=π．

再由五点法作图可得 π×
+φ=π，解得φ=
，

故选C．

8. 【答案】B.

【解析】若数列{an}是等比数列，根据等比数列的性质得：

，

反之，若“
”，当an=0，此式也成立，但数列{an}不是等比数列，

∴“
”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件，

故选B．

9. 【答案】B.

【解析】在△ABC中，由cos（2B+C）+2sinAsinB＜0可得，cos（B+B+C）+2sinAsinB＜0．

∴cosBcos（B+C）﹣sinBsin（B+C）+2sinAsinB＜0，即 cosBcos（π﹣A）﹣sinBsin（π﹣A）+2sinAsinB＜0．

∴﹣cosBcosA﹣sinBsinA+2sinAsinB＜0，﹣cosBcosA+sinBsinA＜0．

即﹣cos（A+B）＜0，cos（A+B）＞0．

∴A+B＜
，∴C＞
，故△ABC形状一定是钝角三角形，故有 a2+b2＜c2 ．

故选 B．

10. 【答案】C.

【解析】根据题意，得

∵AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AC⊥BD，

∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，

∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，

∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，

因此，三棱锥C﹣HAM的体积V=
S△CMH×AM=
S△CMH由此可得，当S△CMH达到最大值时，三棱锥C﹣HAM的体积最大

设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=
AB=

可得CD=
，BD=

Rt△ACD中，根据等积转换得CH=
=

Rt△ABD∽Rt△AHM，得
，所以HM=
=

因此，S△CMH=
CH?HM=
=

∵4+2tan2θ≥4
tanθ，

∴S△CMH=
≤
=
，

当且仅当tanθ=
时，S△CMH达到最大值，三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值．

∵tanθ=
＞0，可得sinθ=
cosθ＞0

∴结合sin2θ+cos2θ=1，解出cos2θ=
，可得cosθ=
（舍负）

由此可得CD=
=
，

即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为

故选：C

11. 【答案】B.

【解析】∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域

为R的偶函数，

令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），

f（﹣1）=f（1），

即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），

∴f（x）是周期为2的偶函数．

当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，

函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．

∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上

至少有三个零点，

令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．

∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1．

要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，

则有g（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，

∴loga3＞﹣2，∴3＜
，解得﹣
＜a＜
．

又a＞0，∴0＜a＜
，

故选：B．

12. 【答案】C.

【解析】双曲线的渐近线为：y=±
x，设焦点F（c，0），则A（c，
），B（c，﹣
），P（c，
），

∵
，∴（c，
）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）
），

∴λ+μ=1，λ﹣μ=
，解得λ=
，μ=
，

又由λμ=
得
=
，解得
=
，

∴e=
=

故选C．

13. 【答案】
.

【解析】

，则函数的最小值为
。

14. 【答案】1007.

【解析】观察并执行如图所示的程序框图，其表示计算
，所以输出S为1007.

15. 【答案】2.

【解析】由题意可得
=
=n
﹣m
，

=
=
=

=
，

∵
∥
，∴?λ∈R，使
=λ
，

即n
﹣m
=λ（
），

比较系数可得n=λ，﹣m=
λ，解得
=2

故答案为：2

16. 【答案】

【解析】不等式组
表示的平面区域为矩形，要使根式有意义，则1﹣t2≥0，即0≤t≤1，

则对应的矩形面积为2t
≤t2+1﹣t2=1当且仅当t=
，即t2=
，

即t=
时取等号，此时区域N的最大面积为1，

∴在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是
，

故答案为：

17. 【解析】(1)

，
，

故
， ………………3分

，由
，

得：
.

所以
的单调递增区间为
． ………………6分

(2)因为
，所以
．

因为
，所以
．所以
． ………………9分

因为
，
，所以
. ………………12分

因为
，所以
，
，
. ………………14分

18. 【解析】

19. 【解析】

取PA的中点F，连EF，DF．…… 2分

因为E是PB的中点，所以EF // AB，且
．

因为AB∥CD，AB＝2DC，所以EF∥CD，……………… 4分

，于是四边形DCEF是平行四边形，

从而CE∥DF，而
平面PAD，
平面PAD，

故CE∥平面PAD． …………………… 7分

（方法2）取AB的中点M，连EM，CM． ……………… 2分

因为E是PB的中点，所以EM // PA．

因为AB∥CD，AB＝2DC，所以CM // AD．……………… 4分

因为
平面PAD，
平面PAD，

所以EM∥平面PAD．同理，CM∥平面PAD．

因为
，
平面CEM，

所以平面CEM∥平面PAD．而
平面PAD，故CE∥平面PAD．……………………… 7分

（2）（接（1）中方法1）因为PD＝AD，且F是PA的中点，所以
．

因为AB⊥平面PAD，
平面PAD，所以
． ……………………… 10分

因为CE∥DF，所以
，
．

因为
平面PAB，
，所以
平面PAB．

因为
平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB． ………………………… 14分

20. 【解析】（1）设
，所以
，由
得

①当
时，曲线是焦点在轴的双曲线；

②当
时，曲线是焦点在轴的椭圆；

③当
时，曲线是圆；

④当
时，曲线是焦点在轴的椭圆； ………6分

（2）①当
且
时，曲线是椭圆，曲线
方程为
,设

所以两曲线四个交点坐标
，所以四边形
为正方形； ………9分

②设
，当
时，
且

解得
． ………12分

21. 【解析】

（1）∵

∴
， （1分）

令
，解得
（2分）

当x变化时，
，
的变化情况如下表：

















0

—

0







↗

极大值

↘

极小值

↗




②当
，即
时，

因为
在区间
上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且
，所以
在区间
上的最大值为
.

（10分）

由
，即
时，有[t，t+3]?
，-1?[t，t+3]，所以
在
上的最大值为
； （11分）

③当t+3>2，即t>-1时，

22. 【解析】证明：（1）连结AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB，∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，∴MB=MC∴MN=MB． ………5分

（2）设OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB

由（Ⅰ）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC

∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN． …………10分

23. 【解析】

（1）曲线C的普通方程

当
时 |AB|

(2) 直线参数方程代入得

24.解：(Ⅰ)由
得
，∴
，

即
，∴
，∴
．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，令
，

则

∴
的最小值为4，故实数的取值范围是
．