乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验

理科数学（问卷）

（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.

2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|x2<1}, B=[0, 1)，则A∩B=

A. (0, 1) B. (0, 1] C. [0, 1) D. [0, 1]

2.已知复数z1=a+bi与z2=c+di (a, b, c, d∈R, z2≠0)，则 ∈R的充要条件是

A. ad+bc=0 B. ac+bd=0 C. ac-bd=0 D. ad-bc=0

3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a2=2, 2a3+a4=16，则a5=

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

4.某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位: cm）

可得这个几何体的体积是

A. cm3 B. cm3

C. cm3 D. cm3

5.已知函数y=f(2x)+x是偶函数，且f(2)=1，则f(-2) =

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6.阅读如右图所示的程序框图，若输入n的值为6，运行相

应程序，则输出的n的值为

A. 3 B. 5 C. 10 D. 16

7.若平面向量
两两所成的角相等，且
，

则
等于

A. 2 B. 5

C. 2或5 D. 或

8.已知⊙A1：(x+2)2 + y2=12和点A2(2, 0)，则过点A2且与⊙A1

相切的动圆圆心P的轨迹方程为

A.  ??y2 = 1 B.  ??y2 = 1

C. x2 ??y2 = 2 D.  +  = 1

9.将函数f(x)=sin(2x+θ) (- < θ <  )的图象向右平移φ（φ > 0）个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x), g(x)的图象都经过点P(0, )，则φ的值可以是

A.  B.  C.  D. 

10.设a = log0.10.2，b = log0.20.4，c = log0.30.6，则

A. a > b> c B. a > c > b C. b > c > a D. c > b > a

11.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为

A.  B.  C.  D. 

12.若直线ax + by + c = 0与抛物线y2=2x交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N，则直线MN的方程为

A. 4cx?2by + a=0 B. ax?2by ??4c=0 C. 4cx ??2by ??a=0 C.ax ??2by ??4c=0

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=11，S11=9，则S20= ；

14.如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx及直线x=a(a∈(0,2π) )与x轴围成.向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a= ；

15.直三棱柱ABC?A1B1C1的各个顶点都在同一个球面上. 若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 .

16.已知直线x+y+1=0与曲线C：y = x3-3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为 .

三、解答题第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

如图，已知OPQ是半径为，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP为x，矩形ABCD的面积为f(x)。

（Ⅰ）求f(x)的解析式，并写出定义域；

（Ⅱ）求函数y=f(x)+f(x + )的最大值及相应的x的值.

18.（本小题满分12分）

如图在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，

∠BAD=90°,BC = 2AD, AC与BD交于点O，点M，N分别在线

段PC，AB上,  =  =2 .

（Ⅰ）求证：平面MNO∥平面PAD

（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，∠PDA=60°，且PD = DC = BC = 2，

求二面角B?AM?C的余弦值

19.（本小题满分18分）

袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球.

（Ⅰ）求取出的4个球同色的概率；

（Ⅱ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.

20.（本题满分12分）

已知椭圆： +  =1(a>b>0)的焦点为F，离心率为 ，短轴长为2，过点F引两条直线l1和l2, l1交椭圆于点A和C，l2交椭圆于点B和D.

（Ⅰ）求此椭圆的方程；

（Ⅱ）若|FA|·|FC|=|FB|·|FB|，试求四边形ABCD的面积的最大值

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x) =  (x>0, x≠1) .

（Ⅰ）求证：x > 1时，f(x) > 1；

（Ⅱ）令an+1=f(an), a1 = ，求证：2nlnan ≥1

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答卷（答题卡）上把所选题目的题号涂黑，满分10分

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB = 2BE.

（Ⅰ）求证：BC = 2BD；

（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.

已知直线l的参数方程为 ( t为参数 )，圆C的极坐标方程是ρ = 1.

（Ⅰ）求直线l与圆C的公共点个数；

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C(，设M(x, y)为曲线C (上任意一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标.

24.（本小题满分10分）

已知函数f(x)=|x?1|。

（Ⅰ）解不等式：f(x?1) ??f(1?x)≤2；

（Ⅱ）若a<0，求证：f(ax)?af(x)≥f(a)

乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

C

D

C

C

B

B

C

A

B

A

C

A



1.选C.【解析】由
得
，故
，∴
.

2.选D.【解析】∵
，

∴
的充要条件是
.

3.选C.【解析】由题意得，
解得
，
，又
，

∴
，∴
.

4.选C.【解析】，该几何体的直观图为右图所示

∴
.

5.选B.【解析】∵
是偶函数，∴
，

∴
，令
，
.

6.选B.【解析】循环体执行第一次时：
；循环体执行第二次时：

循环体执行第三次时：
；∴输出
.

7.选C.【解析】当向量
两两成
角时，
；当向量
两两成
角时，∵
；

∴

8.选A.【解析】根据题意有
，∴点
的轨迹是以
，
为焦点，实轴长为
的双曲线，
，方程为
.

9.选B.【解析】∵
过
，∴
，又
，∴
，

∵
过
，∴
，∴

，或
，即
，或
，又
，选B.

10.选A.【解析】∵
，当
时，有

∴
，即，当
时，
越大，
的值越小，
，∴
.

11.选C.【解析】∵从
到
这
个数字中任取
个数字组成一个没有重复数字的三位数有
个；其中，能被
整除的，可以分为“含
”与“不含
”两类；

“含
”：由这样的数字构成：
，它们组成的无重复数字的三位数有
个；或由
构成，它们组成的无重复数字的三位数有
个，共有
个

“不含
”：由这样的数字构成：⑴含
中的一个，另外两个数字分别为

，它们组成的无重复数字的三位数有
个；

⑵由
三个数字构成无重复数字的三位数有
个；⑶无
，由
组成无重复数字的三位数有
个，

故，从
到
这
个数字中任取
个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被
整除的共有
个，∴能被
整除的概率为
.

12.选A.【解析】设
，
，由
过焦点
，易得
，
，则有
，同理
，将
点代入直线方程
，有
，两边乘以
，得
，又
，

，所以
，同理

故，所求直线为
．

二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.

13.填
.【解析】依题意有
，两式相减得，
，

∴
.

14.填
.【解析】根据题意，阴影部分的面积为
，

即，
，
，又
，故
.

15.填
.【解析】设半径为
的球内接直三棱柱
的上下底面外接圆的圆心分别为
，则球心
在线段
的中点处，连接
，

则

，在
中，
，∴
，
，∴
，∴
，

∴此球的表面积等于
.

16.填
.【解析】曲线
，则
，设
，

依题意知
…⑴，
…⑵，∴
是方程
的两个根∴
…⑶，下证线段
的中点在曲线
上，

∵

，而

∴线段
的中点在曲线
上，由⑶知线段
的中点为

，解得
.

三、解答题（共6小题，共70分）

17.（本小题满分12分）

（Ⅰ）在
中，
，

，

，
…6分

（Ⅱ）由
，
，得

而

∵
，∴
，
，

∴
，即
时，
…12分

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）在梯形