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| 简介：
2014新课标1高考压轴卷 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（ ）
A． {5，7} B． {2，4} C． {2，4，8} D． {1，3，5，6，7} 2. 复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（ ）
A． （1，2） B． （2，﹣i） C． （2，1） D． （1，﹣2） 3. 的值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 4. 函数f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），则f（x）﹣g（x）是（ ）
A． 奇函数 B． 偶函数
C． 既不是奇函数又不是偶函数 D． 既是奇函数又是偶函数 5.在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ） A. B. C. D. 6.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为( ) A.3π B.4π C.6π D.8π 7. 已知函数的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（ ）
A． B． C． D． 8. “”是“数列{an}为等比数列”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（ ）
A． 2ab＞c2 B． a2+b2＜c2 C． 2bc＞a2 D． b2+c2＜a2 10. 等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为（ ）
A． B． C． D． 11.定义域为R的偶函数f（x）满足?x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈ [2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18．若函数y=f（x）﹣loga（x+1）至少有三个零点，则a的取值范围是（ ）
A． （0，） B． （0，） C． （0，） D． （0，） 12. 设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 函数的最小值是 14.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S是________． 15.已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，=m，=n（m?n≠0），若∥，则=___________________. 16. 设不等式组表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是________________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 17.已知，，其中，函数的最小正周期为. (1)求的单调递增区间； (2)在中，角，，的对边分别为，，．且，，求角、、的大小． 18.某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．
（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160,170）（单位：cm）内的运动员人数b； （Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率； （Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望． 19.等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足 (如图1)．将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结 (如图2)． （Ⅰ）求证:平面； （Ⅱ）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由． 20.在平面直角坐标系中，从曲线上一点做轴和轴的垂线，垂足分别为，点（为常数），且（） （1）求曲线的轨迹方程，并说明曲线是什么图形； （2）当且时，将曲线绕原点逆时针旋转得到曲线，曲线与曲线四个交点按逆时针依次为，且点在一象限 ①证明：四边形为正方形； ②若，求值． 21. 已知 （Ⅰ）当时，求的极大值点； （Ⅱ）设函数的图象与函数的图象交于、两点，过线段的中点做轴的垂线分别交、于点、，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行. 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22.已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D， 弦BE与CD、AC 分别交于点M、N，且MN = MC
（1）求证：MN = MB； （2）求证：OC⊥MN。 23.（本小题满分10分）已知直线的参数方程： ,曲线C的参数方程：（为参数）,且直线交曲线C于A,B两点.（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求时,|AB|的长度,；:（Ⅱ）已知点P:(1,0) , 求当直线倾斜角变化时, 的范围 24.已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围. 2014新课标1高考压轴卷 理科数学参考答案 1. 【答案】C. 【解析】∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}， ∴M∪N={1，3，5，6，7}， ∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}， ∴Cu（ M∪N）={2.4.8} 故选C 2. 【答案】C. 【解析】因为，其共轭复数为2+i，即a+bi=2+i，所以a=2，b=1． 所以点（a，b）为（2，1）． 故选C． 3. 【答案】B. 【解析】解：2lg2﹣lg=lg4+lg25=lg4×25=2lg10=2． 4. 【答案】A. 【解析】∵f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x）， ∴f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣1，1） 记F（x）=f（x）﹣g（x）=log2， 则F（﹣x）=log2=log2（）﹣1=﹣log2=﹣F（x） 故f（x）﹣g（x）是奇函数． 故选A 5. 【答案】B. 【解析】根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==， ∴正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=， 故选B． 6. 【答案】B. 【解析】 7. 【答案】C. 【解析】由函数的图象可得A=2，根据===，求得ω=π． 再由五点法作图可得 π×+φ=π，解得φ=， 故选C． 8. 【答案】B. 【解析】若数列{an}是等比数列，根据等比数列的性质得： ， 反之，若“”，当an=0，此式也成立，但数列{an}不是等比数列， ∴“”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件， 故选B． 9. 【答案】B. 【解析】在△ABC中，由cos（2B+C）+2sinAsinB＜0可得，cos（B+B+C）+2sinAsinB＜0． ∴cosBcos（B+C）﹣sinBsin（B+C）+2sinAsinB＜0，即 cosBcos（π﹣A）﹣sinBsin（π﹣A）+2sinAsinB＜0． ∴﹣cosBcosA﹣sinBsinA+2sinAsinB＜0，﹣cosBcosA+sinBsinA＜0． 即﹣cos（A+B）＜0，cos（A+B）＞0． ∴A+B＜，∴C＞，故△ABC形状一定是钝角三角形，故有 a2+b2＜c2 ． 故选 B． 10. 【答案】C. 【解析】根据题意，得 ∵AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AC⊥BD， ∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH， ∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB， ∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH， 因此，三棱锥C﹣HAM的体积V=S△CMH×AM=S△CMH由此可得，当S△CMH达到最大值时，三棱锥C﹣HAM的体积最大 设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=AB= 可得CD=，BD= Rt△ACD中，根据等积转换得CH== Rt△ABD∽Rt△AHM，得，所以HM== 因此，S△CMH=CH?HM== ∵4+2tan2θ≥4tanθ， ∴S△CMH=≤=， 当且仅当tanθ=时，S△CMH达到最大值，三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值． ∵tanθ=＞0，可得sinθ=cosθ＞0 ∴结合sin2θ+cos2θ=1，解出cos2θ=，可得cosθ=（舍负） 由此可得CD==， 即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为 故选：C 11. 【答案】B. 【解析】∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域 为R的偶函数， 令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1）， f（﹣1）=f（1）， 即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）， ∴f（x）是周期为2的偶函数． 当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2， 函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线． ∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上 至少有三个零点， 令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点． ∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1． 要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点， 则有g（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）=﹣2， ∴loga3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜． 又a＞0，∴0＜a＜， 故选：B． 12. 【答案】C. 【解析】双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，）， ∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ））， ∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=， 又由λμ=得=，解得=， ∴e== 故选C． 13. 【答案】. 【解析】，则函数的最小值为。 14. 【答案】1007. 【解析】观察并执行如图所示的程序框图，其表示计算，所以输出S为1007. 15. 【答案】2. 【解析】由题意可得==n﹣m， === =， ∵∥，∴?λ∈R，使=λ， 即n﹣m=λ（）， 比较系数可得n=λ，﹣m=λ，解得=2 故答案为：2 16. 【答案】 【解析】不等式组表示的平面区域为矩形，要使根式有意义，则1﹣t2≥0，即0≤t≤1， 则对应的矩形面积为2t≤t2+1﹣t2=1当且仅当t=，即t2=， 即t=时取等号，此时区域N的最大面积为1， ∴在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是， 故答案为： 17. 【解析】(1)，， 故， ………………3分 ，由， 得：. 所以的单调递增区间为． ………………6分 (2)因为，所以． 因为，所以．所以． ………………9分 因为，，所以. ………………12分 因为，所以，，. ………………14分 18. 【解析】（Ⅰ）40人；（Ⅱ）；（Ⅲ）. （Ⅰ）由频率分布直方图可知，成绩在以上的运动员频率为，所以全
数学期望. (12分) 考点：茎叶图、频率分布直方图，条件概率，随机变量的分布列.
19. 【解析】 (1)因为等边△的边长为3,且, 所以,． 在△中,, 由余弦定理得． 因为, 所以．……………3分 折叠后有,因为二面角是直二面角, 所以平面平面 ,又平面平面, 平面,, 所以平面．………6分 (2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为． 如图,作于点,连结、 ， 由(1)有平面,而平面, 所以,又, 所以平面, 所以是直线与平面所成的角 , ………………………8分 设,则,, 在△中,,所以 , 在△中,, , 由, 得 ,解得,满足,符合题意 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 ………12分 解法2:由(1)的证明,可知,平面． 以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 ,设, 则,, , 所以,,,所以 , 因为平面, 所以平面的一个法向量为 , ………………………9分 因为直线与平面所成的角为, 所以, , 解得 , 即,满足,符合题意, 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 ．………12分 20. 【解析】（1）设，所以，由得 ①当时，曲线是焦点在轴的双曲线； ②当时，曲线是焦点在轴的椭圆； ③当时，曲线是圆； ④当时，曲线是焦点在轴的椭圆； ………6分 （2）①当且时，曲线是椭圆，曲线方程为,设 所以两曲线四个交点坐标，所以四边形为正方形； ………9分 ②设，当时，且 解得． ………12分 21. 【解析】 （I） …………………………………………2分 令h’(x)=0，则4x2+2x-1=0， 解出x1=, x2= ………………………………………… | ||||||||||||||||||||||||||||||
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