2014新课标II高考压轴卷

文科数学

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3



2. 已知复数z满足z?i=2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数为（　　）

A．

﹣1+2 i

B．

l+2i

C．

2﹣i

D．

﹣1﹣2i



3. 由y=f（x）的图象向左平移
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin
的图象，则 f（x）为（　　）

A．

2sin

B．

2sin

C．

2sin

D．

2sin



4.已知函数
，则
的值是（　　）

A．

9

B．

﹣9

C．



D．





5. 设随机变量
(3，1)，若
，，则P(2

( A)
( B)l—p (C)l-2p (D)

6. 6．运行右面框图输出的S是254，则①应为

(A)≤5

(B)≤6

(C)≤7

(D)≤8

7. 若曲线
在点（a，f（a））处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=（　　）

A．

64

B．

32

C．

16

D．

8



8.已知、是圆
上的两个点，是
线段上的动点，当
的面积最大时，则

的最大值是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　　　）

（A）64 （B）72　　　　　（C）80 （D）112

10. .已知函数
，且
，则

A．
　　 B．
　 C．
　 D．

11．在约束条件
下，目标函数
的最大值为

(A)
(B)
(C)
(D)

　12．已知抛物线
的焦点F与双曲
的右焦点重合，抛物线的准 线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且
，则A点的横坐标为

(A)
(B)3 (C)
(D)4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为　　．

14.已知
，
，则
的值为 　　　 ．

15.函数

的最小值是 ．

16. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7…

23=3=5 33=7+9+11 43=13+15+17+19…

根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p=　11　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

17.已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）已知
中的三个内角
所对的边分别为
，若锐角满足
，且
，
，求
的面积．

18.随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表

男

女

总计



读营养说明

16

8

24



不读营养说明

4

12

16



总计

20

20

40



⑴根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？

⑵从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数
的分布列及其均值（即数学期望）．

（注：
，其中
为样本容量．）

19. 三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；

（Ⅱ）求证：MN⊥平面A1B1C．

20.已知动圆与圆
相切，且与圆
相内切，记圆心的轨迹为曲线
；设
为曲线
上的一个不在轴上的动点，
为坐标原点，过点
作
的平行线交曲线
于
两个不同的点.

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）试探究
和
的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记
的面积为
，
的面积为
，令
，求
的最大值.

21. 已知函数f（x）=x3+2x2+x﹣4，g（x）=ax2+x﹣8．

（Ⅰ）求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.

22.选修4﹣1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D．

（I） 求证：AC平分∠BAD；

（II） 若AB=4AD，求∠BAD的大小．

23.选修4﹣4：坐标系与参数方程

将圆x2+y2=4上各点的纵坐标压缩至原来的
，所得曲线记作C；将直线3x﹣2y﹣8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l．

（I）求直线l与曲线C的方程；

（II）求C上的点到直线l的最大距离．

24. 选修4﹣5：不等式选讲

设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．

（I）求证f（x）≥1；

（II）若f（x）=
成立，求x的取值范围．

2014新课标II高考压轴卷

文科数学参考答案

1. 【 答案】A.

【 解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4}，

所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}．

所以A∩B中元素的个数为2．

故选C．

2. 【 答案】A.

【 解析】由z?i=2﹣i，得
，

∴
．

故选：A．

3. 【 答案】B.

【 解析】由题意可得y=2sin
的图象上各个点的横坐标变为原来的
，可得函数y=2sin（6x﹣
）的图象．

再把函数y=2sin（6x﹣
）的图象向右平移
个单位，即可得到f（x）=2sin[6（x﹣
）﹣
）]=2sin（6x﹣2π﹣
）=2sin
的图象，

故选B．

4. 【 答案】C.

【 解析】
=f（log2
）=f（log22﹣2）=f（﹣2）=3﹣2=
，

故选C．

5. 【 答案】C.

【 解析】因为
，

所以P(2

6. 【 答案】C.

【 解析】本程序计算的是

，由
，得
，解得
。此时
，不满足条件，输出，所以①应为
，选C.

7. 【 答案】A.

【 解析】∵
，（x＞0），

∴f'（x）=
，

∴在点（a，f（a））处的切线斜率k=f'（a）=
（a＞0）．

且f（a）=
，

∴切线方程为y﹣
=
（x﹣a），

令x=0，则y=
，

令y=0，则x=3a，即切线与坐标轴的交点坐标为（0，
），（3a，0），

∴三角形的面积为
，

即
，

∴a=64．

故选：A．

8. 【 答案】C

【 解析】

9. 【 答案】C.

【 解析】由几何体的三视图可得原几何体是：

10. 【 答案】B

【 解析】因为
，所以

，

，所以


,选B.

11. 【 答案】C.

【 解析】由
得
。作出可行域如图阴影部分，平移直线
，由平移可知，当直线经过点C时，直线
的截距最大，此时最大。

由
解得
，

代入
得
，选C.

12. 【 答案】B.

【 解析】抛物线的焦点为
，准线为
。双曲线的右焦点为
，所以
，即
，即
。过F做准线的垂线，垂足为M,则
，即
，设
，则
代入
，解得
。选B.

13. 【 答案】

【 解析】根据题意，棉花纤维的长度小于20mm的有三组，

[5，10）这一组的频率为5×0.01=0.05，有100×0.05=5根棉花纤维在这一组，

[10，15）这一组的频率为5×0.01=0.05，有100×0.05=5根棉花纤维在这一组，

[15，20）这一组的频率为5×0.04=0.2，有100×0.2=20根棉花纤维在这一组，

则长度小于20mm的有5+5+20=30根，

则从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，其长度小于20mm的概率为
=
；

故答案为
．

14. 【 答案】.

【 解析】由
得
，所以
。所以

。

15. 【 答案】1.

【 解析】
，当且仅当

16. 【 答案】11.

【 解析】∵m2=1+3+5+…+11=
=36，

∴m=6

∵23=3+5，33=7+9+11，

43=13+15+17+19，

∴53=21+23+25+27+29，

∵p3的分解中最小的数是21，

∴p3=53，p=5

∴m+p=6+5=11

故答案为：11

17. 【 解析】（Ⅰ）

………………………………………………………2分

的最小正周期为
………………………………………3分

由
得：
，
，

的单调递减区间是
，
………………6分

（Ⅱ）∵
，∴
，∴
………………7分

∵
，∴
．由正弦定理得：
，

即
，∴
……………………………………………………9分

由余弦定理
得：
，

即
，∴
………………………………………………………11分

∴
…………………………………………12分

18. 【 解析】⑴由表中数据，得
……4分（列式2分，计算1分，比较1分），

因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关……5分

⑵
的取值为0，1，2……6分

，
，
……12分




















的分布列为

……13分

的均值为
……14分．

19. 【 解析】证明：（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1．

在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN||BC1．

又∵MN?平面BCC1B1，∴MN||平面BCC1B1．

（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1﹣xyz．

则B1（0，0，0），C（0，2，2），A1（﹣2，0，0），M（﹣1， 0，2），N（﹣1，1，1）

∴
=（0，2，2），
，
．

设平面A1B1C的法向量为n=（x，y，z）．

令z=1，则x=0，y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1）．

∴
．∴MN⊥平面A1B1C．

20. 【 解析】（I）设圆心的坐标为
，半径为

由于动圆与圆
相切，且与圆
相内切，所以动

圆与圆
只能内切

………………………………………2分

圆心的轨迹为以
为焦点的椭圆，其中
，

故圆心的轨迹
：
…………………………………………………………4分

（II）设
，直线
，则直线

由
可得：
，

……………………………6分

由
可得：

………………………………8分

和
的比值为一个常数，这个常数为
……………………………………9分

（III）
，
的面积
的面积，

到直线
的距离

…………………………11分

令
，则

（当且仅当
，即
，亦即
时取等号）

当
时，
取最大值
……………………………………………………13分

21. 【 解析】（I）f′（x）=3x2+4x+1，令f′（x）=0，

解得
．

列表如下：

x

（﹣∞，﹣1）

﹣1









f′（x）

+

0

﹣

0

+



f（x）

增函数

极大值

减函数

极小值

增函数



∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值为﹣4；

当
时，f（x）取得极小值为
．

（II）设F（x）=f（x）﹣g（x）=x3+（2﹣a）x2+4，

∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立?F（x）min