2014新课标II高考压轴卷

理科数学

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3



2. 已知复数z满足z?i=2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复
数
为（　　）

A．

﹣1+2 i

B．

l+2i

C．

2﹣i

D．

﹣1﹣2i



3. 由y=f（x）的图象向左平移
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin
的图象，则 f（x）为（　　）

A．

2sin
[来源:学科网ZXXK]

B．

2sin

C．

2sin

D．

2sin



4.已知函数
，则
的值是（　　）

A．

9

B．[来源:Zxxk.Com]

﹣9

C．



D．





5. 设随
机变量
(3，1)，若
，，则P(2

( A)
( B)l—p (C)l-2p (D)

6. 6．运行右面框图输出的S是254，则①应为

(A)
≤5

(B)
≤6

(C)
≤7

(D)
≤8

7. 若曲线
在点（a，f（a））处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=（　　）

A．

64

B．

32

C．

16

D．

8



8.已知
、
是圆
上的两个点，
是
线段上的动点，当
的面积最大时，则

的最大值是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以
平面为投影面的正视图的面积为

A．
B．
C．
D．

10. .已知函数
，且
，则

A．
　　 B．
　 C．
　 D．

11．设x，y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则
+
的最小值为（　　）

A．

4

B．



C．

1

D．

2



　12．设双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若
=λ
+μ
（λ，μ∈R），λμ=
，则该双曲线的离心率为（　　）

A．



B．



C．



D．







二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为　　．

14.已知
，
，则
的值为 　　　 ．

15.函数

的最小值是 ．

16.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,
2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

17.已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）已知
中的三个内角
所对的边分别为
，若锐角
满足
，且
，
，求
的面积．

18.随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表

男

女

总计



读营养说明

16

8

24



不读营养
说明

4

12

16



总计

20

20

40



⑴根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？

⑵从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数
的分布列及其均值（即数学期望）．

（注：
，其中
为样本容量．）

19.已知正四棱柱
中，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在线段
上是否存在点
，使得平面

平面
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

20.已知动圆
与圆
相切，且与圆
相内切，记圆心
的轨迹为曲线
；设
为曲线
上的一个不在
轴上的动点，
为坐标原点，过点
作
的平行线交曲线
于
两个不同的点.

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）试探究
和
的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记
的面积为
，
的面积为
，令
，求
的最大值.

21.已知
，函数
.

(1)
时，写出
的增区间；

(2)记
在区间[0,6]上的最大值为
，求
的表达式；

(3)是否存在
，使函数
在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.

22.选修4﹣1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D．

（I） 求证：AC平分∠BAD；

（II） 若AB=4A
D，求∠BAD的大小．

23.选修4﹣4：坐标系与参数方程

将圆x2+y2=4上各点的纵坐标压缩至原来的
，所得曲线记作C；将直线3x﹣2y﹣8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l．

（I）求直线l与曲线C的方程；

（II）求C上的点到直线l的最大距离．

[来源:Z_xx_k.Com]

24. 选修4﹣5：不等式选讲

设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．

（I）求证f（x）≥1；

（II）若f（x）=
成立，求x的取值范围．

2014新课标II高考压轴卷

理科数学参考答案

1. 【 答案】A.

【 解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2
，4}，

所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}．

所以A∩B中元素的个数为2．

故选C．

2. 【 答案】A.

【 解析】由z?i=2﹣i，得
，

∴
．

故选：A．

3. 【 答案】B.

【 解析】由题意可得y=2sin
的图象上各个点的横坐标变为原来的
，可得函数y=2sin（6x﹣
）的
图象．

再把函数y=2sin（6x﹣
）的图象向右平移
个单位，即可得到f（x）=2sin[6（x﹣
）﹣
）]=2sin（6x﹣2π﹣
）=2sin
的图象，

故选B．

4. 【 答案】C.

【 解析】
=f（log2
）=f（log22﹣2）=f（﹣2）=3﹣2=
，

故选C．

5. 【 答案】C.

【 解析】因为
，

所以P(2

6. 【 答案】C.

【 解析】本程序计算的是

，由
，得
，解得
。此时
，不满足条件，输出，所以①应为
，选C.

7. 【 答案】A.

【 解析】∵
，（x＞0），

∴f'（x）=
，

∴在点（a，f（a））处的切线斜率k=f'（a）=
（a＞0）．

且f（a）=
，

∴切线方程为y﹣
=
（x﹣a），

令x=0，则y=
，

令y=0，则x=3a，即切线与坐标轴的交点坐标为（0，
），（3a，0），

∴三角形的面积为
，

即
，

∴a=64．

故选：A．

8. 【 答案】C

【 解析】

9. 【 答案】A

【 解析】设O（0，0，0），A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，1），易知该四面体中以
平面为投影面的正视图为直角梯形OABC,其中OA=1，AB=2，OA=2，所以S=3.

10. 【 答案】B

【 解析】因为
，所以

，

，所以


,选B.

11. 【 答案】A.

【 解析】作出不等式组
表示的平面区域，

得到如图的四边形OABC及其内部，其中

A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点

设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，

观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值

∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．

因此，
+
=（
+
）×
（4a+6b）=2+
（
），

∵a＞0，b＞0，可得
≥
=12，

∴当且仅当
即2a=3b=3时，
的最小值为12，

相应地，
+
=2+
（
）有最小值为4．

故选：A

12. 【 答案】C.

【 解析】双曲线的渐近线为：y=±
x，设焦点F（c，0），则A（c，
），B（c，﹣
），P（c，
），

∵
，∴（c，
）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）
），

∴λ+μ=1，λ﹣μ=
，解得λ=
，μ=
，

又由λμ=
得
=
，解得
=
，

∴e=
=

故选
C．

13. 【 答案】

【 解析】根据题意，棉花纤维的长度小于20mm的有三组，

[5，10）这一组的频率为5×0.01=0.05，有100×0.05=5根棉花纤维在这一组，

[10，15）这一组的频率为5×0.01=0.05，有100×0.05=5根棉花纤维在这一组，

[15，20）这一组的频率为5×0.04=0.2，有100×0.2=20根棉花纤维在这一组，

则长度小于20mm的有5+5+20=30根，

则从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，其长度小于20mm的概率为
=
；

故答案为
．

14. 【 答案】.

【 解析】由
得
，所以
。所以

。

15. 【 答
案】1.

【 解析】
，当且仅当

16. 【 答案】
.

【 解析】∵f′(x)＝3x2＋1>0恒成立，

∴f(x)在R上是增函数．

又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．

由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，

∴mx－2<－x，即mx－2＋x<0在m∈[－2,2]上恒成立．

记g(m)＝xm－2＋x，

17. 【 解析】（Ⅰ）

………………………………………………………2分

的最小正周期为
………………………………………3分

由
得：
，
， [来源:学|科|网]

的单调递减区间是
，
………………6分

（Ⅱ）∵
，∴
，∴
………………7分

∵
，∴
．由正弦定理得：
，

即
，∴
……………………………………………………9分

由余弦定理
得：
，

即
，∴
………………………………………………………11分

∴
…………………………………………12分

18. 【 解析】⑴由表中数据，得
……4分（列式2分，计算1分，比较1分），

因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关……5分

⑵
的取值为0，1，2……6分

，
，
……12分




















的分布列为

……13分

的均值为
……14分．

19. 【 解析】证明：(Ⅰ)因为
为正四棱柱，

所以
平面
，且
为正方形. ………1分

因为
平面
，

所以
. ………2分

因为
,

所以
平面
. ………3分

因为
平面
,

所以
. ………4分

(Ⅱ) 如图，以
为原点建立空间直角坐标系
.则

………5分

所以
.

设平面
的法向量
.

所以
.即
……6分

令
，则
.

所以
.

由（Ⅰ）可知平面
的法向量为
. ……7分

所以
. ……8分

因为二面角
为钝二面角，

所以二面角
的余弦值为
. ………9分

(Ⅲ)设
为线段
上一点,且
.

因为
.

所以
. ………10分

即
.

所以
.