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2014年5月质量检查

数学（理科）试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　　　V=
Sh

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题p：“若
，则
”的否命题是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

2．若向量
，
，则以下向量中与
垂直的是

A．
B．
C．
D．

3．已知复数

为虚数单位
，集合
，
．若
，则
等于

A．1 B．
C．2 D．4

4．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B．

C．
D．4

5．若函数
的最小正周期为
，则

的值等于

A．2 B．

C．1 D．0

6．下列函数中，为偶函数且在
内为增函数的是

A．
B．

C．
D．

7．已知随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间

内的概率和落在区间
内的概率是相等的，

那么随机变量X的数学期望为

A．
B．0 C．1 D．2

8．设
是不等式组
表示的平面区域内的任意一

点，向量
，
．若
（
），

则
的最大值为

A．3 B．
C．0 D．

9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的

，则输出的结果可能是

A．
B．0 C．1.5 D．3

10．动曲线
的初始位置所对应的方程为：
，一个焦点为
，曲线
：
的一个焦点为
，其中
，
．现将
沿
轴向右平行移动．给出以下三个命题：

①
的两条渐近线与
的交点个数可能有3个；

②当
的两条渐近线与
的交点及
的顶点在同一直线上时，曲线
平移了
个单位长度；

③当
与
重合时，若
，
的公共弦长恰为两顶点距离的4倍，则
的离心率为3．其中正确的是

A． ②③ B． ①②③ C． ①③ D．②

第II卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．在
的展开式中
的系数为 （用数字表示）．

12．一个总体由编号为01，02，
，49，50的50个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第2行的第3列的数0开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ．

78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74



32 04 94 23 49 35 80 20 36 23 48 69 97 28 01





13．定义在
上的函数
过点
，且
，则
的值等于 ．

14．已知函数
若函数
，则该函数的零点个数为 ．

15．若实数
满足
，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．(本小题满分13分)

某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：

成绩



5

2













6

5













7

2

8











8

6

6

6

7

7

8



9

0

8













根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．

（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；

（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记
表示成绩“优良”的学生人数，求
的分布列及期望．

17．(本小题满分13分)

在
中，角
所对的边分别为
，且
．

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）若
为锐角三角形，且
，求
的取值范围．

18．(本小题满分13分)

如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
为
的中点．

（Ⅰ）求证：
⊥平面
；

（Ⅱ）若动点
满足
∥平面
，问：当
时，平面
与平面
所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．

19．(本小题满分13分)

在平面直角坐标系
中，已知曲线
上的任意一点到点
的距离之和为
．

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）设椭圆
：
，若斜率为
的直线
交椭圆
于点
，垂直于
的直线
交曲线
于点
．

（i）求证：
的最小值为
；

（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线
相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分14分)

已知数列
满足
，
．函数
．

（I）求数列
的通项公式；

（II）试讨论函数
的单调性；

（III）若
，数列
满足
，求证：
．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知关于
，
的二元一次方程组为
﹒

（Ⅰ）若该方程组有唯一解，求实数
的取值范围;

（Ⅱ）若
，且该方程组存在非零解
满足
，求
的值﹒

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与
轴的非负半轴重合．若曲线
的方程为
，曲线
的参数方程为

（Ⅰ） 将
的方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若点
为
上的动点，
为
上的动点，求
的最小值．

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

已知函数
﹒

（Ⅰ）若
，求
的取值范围;

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求
的最大值﹒