吉林省长春市2014届第三次调研测试数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择学科王题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22学科王题—24题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．学科王选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿

纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题学科王目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

1．复数
满足
，则复数
在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合
,集合
，则集合
中有___个元素

A．4 B．5 C．6 D． 7

3．下列函数中，在
上单调递减，并且是偶函数的是

A．
B．
C．
D．
学科王

4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量
之间关系最强的是

A． B． C． D．

5．如图所示的程序框图，该算法的功能是

A．计算
…
的值

B．计算
…
的值

C．计算
…

…
的值

D．计算
…

…
的值

6．已知双曲线
：

的焦距为
，焦点

到双曲线
的渐近线的距离为
，则双曲线
的离心率为

A．2 B．
C．
D．

7．△
各角的对应边分别为
，满足

，则角
的范围是

A．
B．
C．
D．

8．函数
的图象向左平移
个单位后关于原点对称，则函数
在
上的最小值为

A．
B．
C．
D．

9．已知实数
满足：
，
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．若一个圆柱的正视图与其侧学科王面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
的图象在点
与点
处的切线互相垂直，并交于点
，则点
的坐标可能是

A．
B．
C．
D．

12．
为圆
：
上任意一点，
为圆
：
上任意一点，
中

点组成的区域为
，在
内部任取一点，则该点落在区域
上的概率为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作

答。学学科王科王第22题~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.

13．若
，则
．

14．已知函数
，则
．

15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为
，则圆锥的体积为 ．

16．在平面直角坐标系
中，已知点
在椭圆
上，点
满足
，且
，则线段
在
轴上的投影长度的最大值为 ．

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．（本小题满分12分）

设数列
的前
项和
，数列
满足
．

（1学科王）求数列
的通项公式；

（2学科王）求数列
的前
学科王项和
．

18．（本小题满分
分）

低碳生活，从“衣食住学科王行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数
，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数
等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例
数据如下：

东城小区

低碳家庭

非低碳家庭



西城小区

低碳家庭

非低碳家庭



比例







比例







 （1）如果在东城学科王、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这
个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率；

（2）该班同学在东城小区经过大力宣学科王传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有
的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后随机地从东城小区中任选
个家庭，记
表示
个家庭中“低碳家庭”的个数，求
和
．

19．（本小题满分
分）

如图，直三棱柱
中，
，
，
是
的中点，△
是等腰三角形，
为
的中点，
为
上一点．学科王

（1）若
∥平面
，求
；

（2）求直线
和平面
所成角的余弦值．

20．（本小题满分
分）

已知抛物线
：
和
：

的焦点分别为
，
交于
两点（
为坐标原点），且

.

（1）求抛物线
的方程；

（2）过点
的直线交
的下半部学科王分于点
，交
的左半部分于点
，点
坐标为
，求△
面积的最小值.

21．（本小题满分学科王
分）

已知函数
，
．

（1）若函数
的图象在
处的切线与
轴平行，求
的值；

（2）若

，

恒成立，求