吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测

数学（文科）

本试卷分第?卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其他题为必考题。考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第 I卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，则
=

A． {1,2} B． {1,4} C． {2,3} D． {9,16}

2．设为虚数单位，复数
在复平面上对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

3．下列命题中，说法错误的是

A．“若，则”的否命题是：“若
，则
”

B．“
，
”的否定是：“
，
”

C．“
是真命题”是“
是真命题”的充分不必要条件

D．若“
，则函数
是偶函数”的的逆命题是真命题

4．在等差数列
中，已知
，则
= （ ）

A． 10 B． 18 C． 20 D．28

5. 某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数（人）与月平均气温
之

间的关系，随机统计了某4个月的月患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：

月平均气温

17

13

8

2



月患病（人）

24

33

40

 55



由表中数据算出线性回归方程
中的
=
，气象部门预测下个月的平均气温约为
，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为

A． 38 B．40 C．46 D．58

6．函数
的值域为
，则
与
的关系是

A.
B.

C.
D. 不能确定

7. 已知向量
，
，且
与
共线，那么
的值为

A．1 B．2 C．3 D． 4

8. 已知实数
满足
，如果目标函数
的最小值为
， 则实数的

值为

A． 0 B． 2 C．4 D． 8

9. 已知实数
，执行如图所示的流程图，

则输出的不小于
的概率为

A．

B．

C．

D．

10. 如图，正方体
中，，分别为棱
，
的中点，在平面

内且与平面
平行的直线

A. 有无数条

B. 有2条

C. 有1条

D. 不存在

11. 对于下列命题：

① 在
中，若
，则
为等腰三角形；

② 在
中，角
的对边分别为
，若
，则
有

两组解；

③ 设
，
，
，则
；

④ 将函数
的图像向左平移个
单位，得到函数
的图

像. 其中正确命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

12．已知点是双曲线
右支上一点，
是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段
的中垂线，则该双曲线的离心率是

A．
B.
C. D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题, 每小题5分， 共20分。

13. 抛物线
的焦点
到准线
的距离为 。

14. 已知直线
与圆
相交于
两点，其中
成等差数列，
为坐标原点，则
=___________.

15. 将长、宽分别为6和8的长方形
沿对角线
折起，得到四面体
，则四面体
的外接球的表面积为 .

16. 已知函数
，若
，且
互

不相等，则
的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，且
，

（1）求数列
的通项公式

（Ⅱ）数列
的通项公式
，求数列
的前项和为

18．（本小题满分12分）

2014年“雾霾”成为年度关键词。雾霾天气是一种大气污染状态，雾霾是对大气中各种

悬浮颗粒物含量超标的笼统表述，尤其是PM2.5日均值（微克/立方米）（空气动力学

当量直径小于等于2.5微米的颗粒物）被认为是造成雾霾天气的“元凶”。 PM2.5日均

值越小，空气质量越好。下面是国家环境标准设定的PM2.5日均值（微克/立方米）与

空气质量等级对应关系如下表：

PM2.5日均值

（微克/立方米）

0--35

35--75

75--115

115--150

150--250

250以上



空气质量等级

1级优

2级良

3级

轻度污染

4级

中度污染

5级

重度污染

6级

严重污染



由全国重点城市环境监测网获得4月份某五天甲和乙城市的空气质量指数数据，用茎

叶图表示如下：

（Ⅰ）试根据上面的统计数据，分别计算两城市的PM2.5日均值的平均数，从计算结果看，哪个城市的空气质量较好？

（Ⅱ） 试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；

（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．

19. (本小题满分12分)

如图，在直角梯形
中，
,
,是
中点，将
沿
折起，使得
面
；

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若是
的中点．求三棱锥
的体积。

20. (本小题满分12分)

已知
，
为椭圆
的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆
上异

于，的动点，且
面积的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程及离心率；

（Ⅱ）直线
与椭圆在点处的切线交于点，当直线
绕点转动时，试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明．

21．(本小题满分12分)

已知函数
,其中
R．

（Ⅰ）当
时判断
的单调性；

（Ⅱ）若
在其定义域内为减函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当
时
的图象关于
对称得到函数
，若直线
与曲线

没有公共点，求
的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切

线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．

（I）求AC的长；

（II）试比较BE与EF的长度关系．

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线
，以平面直角坐标系xOy的原点

O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线

.

（I） 将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线

，试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（II）在曲线
上求一点P，使点P到直线
的距离最大，并求出此最大值

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知关于的不等式：
的整数解有且仅有一个值为2.

（I） 求整数的值;

（II）已知
，若
，求
的最大值

命题、校对：纪丽 刘跃忠 刘杰萍 姬艳秋 孙长青

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测

数学（文科）参考答案与评分标准

一．选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

C

B

C

C

A

D

D

B

A

C

D



二．填空题

13. 【答案】
14. 【答案】
15. 【答案】
16. 【答案】

三．解答题:

17.

（1）
时，
…… 1分

时，
…… 3分

经检验
时成立， …… 4分

综上
…… 5分

（2）由（1）可知
…… 7分

=
…… 9分

=

=
……12分 （具体最终化简形式酌情处理）

18.

解：（Ⅰ）乙城市的空气PM2.5日均值平均数为
……1分

甲城市的空气PM2.5日均值平均数为
……2分

乙城市的空气PM2.5日均值平均数小于甲城市，所以乙城市的空气质量较好. ……3分

（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频率为
，

则估计甲城市某一天的空气质量等级为3级轻度污染的概率为
． ……6分,

（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有
个结果，分别记为：

（59，66），（59，68），（59，85），（59，88）（59，98）

（83，66），（83，68），（83，85），（83，88）（83，98）

（87，66），（87，68），（87，85），（87，88）（87，98）

（95，66），（95，68），（95，85），（95，88）（95，98）

（116，66），（116，68），（116，85），（116，88）（116，98） …………9分

其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为2级良的为甲59，乙66，乙68；同为3级轻度污染的为甲83，甲87，甲95； 乙85，乙88，乙98；则空气质量等级相同的为：

（59，66），（59，68），

（83，85），（83，88），（83，98）,

（87，85），（87，88），（87，98）,

（95，85），（95，88），（95，98）,.共11个结果. ………11分

所以这两个城市空气质量等级相同的概率为
． ………12分

19.

(1) 证明 ∵
底面
,∴
. ………1分

又由于
，

∴正方形
，∴
, ………3分

又
,故
底面
, ………5分

因
平面
，所以
底面
………6分

证法二：又由于
，
，∴正方形
，∴
,

折叠后，
,
,又
,故
底面
,

因
平面
，所以
底面

(2) ∵
,又
平面
,
平面
,所以
平面

∴点到平面
的距离即为点到平面
的距离 ………7分

又∵
,是
的中点, ∴
.

由（1）知有
底面
,所以有
.由题意得
,故
.

于是,由
,可得
底面
. ………9分

∴
,
,

又∵
底面
,∴

，∵
，∴

∴

∴
………12分

解法（二）：也可以体积分割求解，但也应有必要的证明过程。

20. 解：

（Ⅰ）由题意可设椭圆
的方程为
，
．

由题意知解得
，
． …………2分

故椭圆
的方程为
，离心率为
． …………4分

（Ⅱ）以
为直径的圆与直线
相切．

证明如下：由题意可设直线
的方程为

.

则点坐标为
，
中点的坐标为
．

由
得
． ………5分

设点的坐标为