吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测

数学（理科）

本试卷分第?卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其他题为必考题。考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第I卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

A．
B．1 C．
D．

2． 命题“
,
”的否定是

A．
,
B．
,

C．
,
D．
,

3．抛物线
的焦点坐标为

A．
B．
C．
D．

4．等差数列
的前n项和为
(n＝1,2,3，…)，若当首项
和公差
变化时，

是一个定值，则下列选项中为定值的是

A．
B．
C．
D．

5．设随机变量
服从正态分布
,若
则

A．6 B．5 C．4 D．3

6．下列哪个函数的图像只需平移变换即可得到
的函数图像

A．
B．

C．
D．

7． 已知若干个正方体小木块堆放在一起形成的组合体的三视图如图所示，则所需小木块

最少有多少个

A． 7 个

B． 8 个

C． 9 个

D． 10个

8．已知实数
，
，执行如图所示的流程图，则输出的不小于
的概率为

A.

B.

C.

D.

9．已知实数
满足
，则
的最小值是

A.
B.
C.
D.

10．如图，
、
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线
与双

曲线的左右两支分别交于点、.若
为等边三角形，则双曲线的离心率为

A. 4

B.

C.

D.

11. 定义在R上的函数
，

时，
，令

则 函 数
的零点个数为

A． 9 B. 8 C. 7 D. 6

12．在四面体
中，已知
,
,
,

则四面体
的外接球半径为

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分, 共20分。

13．已知
,且点
在直线
上，若
，则c的最小值为

14．已知
均为单位向量，且它们的夹角为60°，当
取最小值时，

___________。

15．在随机数模拟试验中，若

,

,共做了次试验，其中有次

满足

，则椭圆
的面积可估计为 ．


表

示生成0到1之间的均匀随机数

16．如图：
是一个边长为100的正方形地皮，其中
是一个半径为90的

扇形小山，其余部分都是平地，政府为方便附近住户，计划在平地上建立一个矩形停

车场，使矩形的一个顶点在弧上，相邻两边
落在正方形的边

上，则矩形停车场
的面积最小值为___________

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，且

，

（Ⅰ）求数列
的通项公式

（Ⅱ）数列
的通项公式
，求数列
的前项和为

18．（本小题满分12分）

某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如下表：

月份x

1

2

3

4

5



（百件）

4

4

5

6

6



（Ⅰ）该同学为了求出关于的回归方程
，根据表中数据已经正确算出

，试求出
的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）

（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾

客甲从零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品均

有质量问题。记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X，求X的分布

列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，四边形
是圆柱
的轴截面，点在圆柱
的底面圆周上，是
的中点，圆柱
的底面圆的半径
，侧面积为
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值．

20. （本小题满分12分）

已知
，
为椭圆
的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆
上

异于，的动点，且
面积的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程及离心率；

（Ⅱ）直线
与椭圆在点处的切线交于点，当直线
绕点转动时，试判断

以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明．

21．（本小题满分12分）

已知函数
,
，其中
R．

（Ⅰ）当
时判断
的单调性；

（Ⅱ）若
在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数
,当
时，若
，
，总有

成立，求实数的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E 、交圆于F，过A点的

切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）试比较BE 与EF 的长度关系．

23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线
，以平面直角坐标系xOy的原

点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线

.

（Ⅰ）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线

试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（Ⅱ）在曲线
上求一点，使点到直线
的距离最大，并求出此最大值

24．已知关于的不等式：
的整数解有且仅有一个值为2.

（Ⅰ）求整数的值;

（Ⅱ）已知
，若
，求
的最大值

命题、校对： 林岩 王亚军 宋军梅 李大搏 孙长青

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测

数学（理科）参考答案与评分标准）

1．选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

D

C

C

B

A

C

A

D

B

B

B



2．填空题

13. 【答案】 2 14. 【答案】
15. 【答案】
16. 【答案】

3．解答题:

17.（1）
时，
…… 1分

时，
…… 2分

经检验
时成立，…… 3分

综上
…… 4分

（2）由（1）可知
…… 6分

=
…… 9分

=

=
……12分 （具体最终化简形式酌情处理）

18. 解：

（1）

…… 2分

且
，代入回归直线方程可得
……4分

（2）X的取值有0,1,2,3

……8分

其分布列为：

X

0

1

2

3



P













…………12分

19. （1）(解法一)：由题意可知
，

解得
， …………分

在
中，
，

∴
，

又 ∵
是
的中点，

∴
.　　　　①

∵
为圆
的直径，

∴
.

由已知知
，

∴
，

∴
.

∴
. ②

∴ 由①②可知：
，

∴
. …………
分

（2） 由（1）知：
，

∴
，
，

∴
是二面角
的平面角 . …………
分

,
,
.

∴
.

. ………
分

(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，

由题意可知
.

解得
.

则
，
，
，
，

∵
是
的中点，

∴ 可求得
. …………2分

（1）
，
，

∴
.

∵
，

∴
. …………4分

（2）由（1）知,
，
，

，
.

∵
，
.

∴
是平面
的法向量. …………8分

设
是平面
的法向量，

由
，
，

解得
…………10分

.

所以二面角
的平面角的余弦值
. …………12分

20. （Ⅰ）由题意可设椭圆
的方程为
，
．

由题意知解得
，
． …………2分

故椭圆
的方程为
，离心率为
． …………4分

（Ⅱ）以
为直径的圆与直线
相切．

证明如下：由题意可设直线
的方程为

.

则点坐标为
，
中点的坐标为
．

由
得
．…………5分

设点的坐标为