一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x| 0＜x＜4}，则集合
＝

（A）{x| 0＜x＜2} （B）{x|－1＜x ≤ 0}

（C）{x| 2＜x＜4} （D）{x|－1＜x＜4}

2. 某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为6的

样本，则抽取的女生人数为

（A）6 （B）4 （C）3 （D）2

3. 已知i是虚数单位，若
，则z＝

（A）
（B）
（C）
（D）

4．
是
的

（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件

5. 某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积是

（A）
（B）

（C）
（D）3

6．函数
的单调递增区间是

（A）
（
） （B）
（
）

（C）
（
） （D）
（
）

7. 从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，

再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是

（A）180 （B）360 （C）480 （D）720

8. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于

（A）2 （B）4 （C）5 （D）10

9. 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.又

函数g(x)＝|cos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

10.
，且
.则关于的方程

的不同实根个数是

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11.
展开式中
的系数是________.

12.执行右边的程序框图，若
，则输出的
.

13.
= .

14.若直线
,以
上的点为圆心，1为半径的圆与圆

没有公共点，则直线
的斜率
的取

值范围是____________.

15.在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数和一个奇数b构成以原点为起点的向量
，b)，从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为_______．

三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.已知
，
.若

，且
相邻两对称轴间的距离不小于
.

（1）求的取值范围；

（2）在
中，
分别是角
的对边，
，
(
＞)，当取最大时，
，求边
的长.

17.设数列
的前n项和为Sn=2n2，
为等比数列，且

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和Tn.

18.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥ 底面ABCD，AC⊥ AD．底面ABCD为梯形，

AB⊥BC，PA＝AB＝BC=3，点E在棱PB上，且PE＝2EB．

（1）求证：PD∥平面EAC；

（2）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

19.某品牌电视专卖店，在五一期间设计一项有奖促销活动：每购买一台电视，即可通过电脑

产生一组3个数的随机数组，根据下表兑奖.

奖次

一等奖

二等奖

三等奖



随机数组的特征

3个1或3个0

只有2个1或2个0

只有1个1或1个0



奖金（单位：元）









商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，产生20组随机数组，每组3个数，试验结果如下所示：

235，145，124，754， 353，296，065，379，118，247，

520，356，218，954，245，368，035，111，357，265.

（1）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖的概率；

（2）根据上述模拟试验的结果，将频率视为概率.

（i）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率；

（ii）若本次活动平均每台电视的奖金不超过260元，求的最大值.

20.椭圆
过点
,离心率为
，左右焦点分别为
.过点
的直线

交椭圆于
两点.

（1）求椭圆C的方程.

(2) 当
的面积为
时，求
的方程.

21.已知函数
．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）当
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

（3）求证：
（其中
，e是自然对数的底数）．

雅安市高中2011级第三次诊断性考试

数学试题(理科)参考答案及评分意见

选择题

1、A 2、 D 3、 B 4、 A 5、C 6、D 7、D 8、D 9、A 10、A

二．填空题

11、2 12、
13、4 14、
15、

三．解答题

16．（12分）解

（1）
，
（4分）

由题意：
，∵
，∴
。
（6分）

（2）∵的最大值是1，∴
，

∵
，∴
，

而
，∴
，∴
。
（9分）

由余弦定理：
，即
，又

联立解得：
。
（12分）

17．（12分）

解：（1） 当

（3分）

故{an}的通项公式为
的等差数列.

设{bn}的通项公式为

故

（6分）

（2）

（8分）

（10分）

=


（11分）

=

（12分）

18．（12分）

解（1）连接BD交

由已知有

（6分）

(Ⅱ)
…………（7分）

…………（8分）

设

则

令

又

设

……………(10分)

即平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为
……………（12分）

19．（12分）

解：（1）设“在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖”为事件，则

由数组知，没中奖的组数为12，

.
（3分）

（2）（i）由题意得，每购买一台电视获奖的概率为
，设“购买四台电视，

恰有两台获奖”为事件，则
.……（6分）

（ii）设“购买一台电视获一等奖”为事件
，“购买一台电视获二等奖”为事件
，

“购买一台电视获三等奖”为事件
，

则
. ………………（8分）

设
为获得奖金的数额，则
的可能取值为
，故
的分布列为
























. ………………（10分）

由题意
得
的最大值为400 .…………（12分）

20．（13分）

解：(1)椭圆
过点

（1分）

离心率为

（2分）

又

（3分）

解①②③得

（4分）

椭圆

（6分）

（2）由得（1）

①当
的倾斜角是
时，
的方程为
，焦点

此时
,不合题意.
（7分）

②当
的倾斜角不是
时，设
的斜率为
,则其直线方程为

由
消去得：

设
，则
……（9分）

（10分） 又已知

解得

故直线
的方程为
即
或

（13分）

21.（14分）

解：（1）当
时，
（
），

（
），
（2分）

由
解得
，由
解得
．

故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．……………（4分）

（2）因当
时，不等式
恒成立，即
恒成立，

设
（
），只需
即可．

由

，
（5分）

（ⅰ）当
时，
，当
时，
，函数
在
上单

调递减，故
成立．
（6分）

（ⅱ）当
时，由
，因
，

所以
，或

①若
，即
时，在区间
上，
，则函数
在
上单调递增，
在
上无最大值（或：当
时，
），此时不满足条件；

②若
，即
时，函数
在
上单调递减，在区间
上单调递增，同样
在
上无最大值，不满足条件．

（ⅲ）当
时，由
，∵
，∴
，

∴
，故函数
在
上单调递减，故
成立．

（8分）

综上所述，实数a的取值范围是
．
（9分）

（3）据（Ⅱ）知当
时，
在
上恒成立
（10分）

又
，
（12分）

∵

，

∴
．
（14分）