2014年高中毕业年级第三次质量预测

理科数学 参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

A

D

B

D

D

C

B

C

A

A





二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 110 14.3 15.
16.

三、解答题：本大题共6道题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （Ⅰ）由题意知周期
，

因为
，所以
，

，…………………3分

由

，

所以
的单调递减区间为
…………………6分

（Ⅱ）由题意
，
,

因为△ABC为钝角三角形，所以
舍去，故
,…………………8分

所以

.…………………12分

18. （Ⅰ）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A,

第三组人数为
，第四组人数为
，第五组人数为
，

根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，…………………2分

第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，

则:
…………………5分

（Ⅱ）第三组应有3人进入复查，则随机变量
可能的取值为0,1,2，3．

且
，则随机变量
的分布列为:

0

1

2

3
















.…………………12分

19.（Ⅰ）∵
∴

又∵
⊥底面
∴

又∵
∴
平面

而
平面
∴平面
平面
…………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，
平面
,所以∠
即为二面角
的平面角，即∠

而
，所以

因为底面
为平行四边形，所以
,

分别以
、
、
为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．

则
，
，
，
,

所以，
，
，
,

设平面
的法向量为
，则
即

令
则

∴
与平面
所成角的正弦值为
…………………12分

20.（Ⅰ）设动点
，
因为
轴于
，所以
，

设圆
的方程为
，

由题意得
， 所以圆
的程为
.

由题意,
，所以
，

所以
即

将
代入圆
,得动点
的轨迹方程

（Ⅱ）由题意可设直线
，设直线
与椭圆
交于
，

联立方程
得
，

，解得
，

，

又因为点
到直线
的距离
，

.（当且仅当
即
时取到最大值）

面积的最大值为
.

21. （I）由题意当
时，
，

当
时，
，

依题意得
，

经检验
符合条件. ………………………………4分

（Ⅱ）由（I）知，

当
时，
，
，

令
得

当变化时，
的变化情况如下表：





0



1







+

0

—









递增

极大值1

递减







由上表可知
在
上的最大值为. ………………………………7分

当
时,
.

，

令
，

当
时，显然
恒成立，

当
时，

在
单调递减，

所以
恒成立.

此时函数在
上的最大值为；

当
时，在
上
，

当
时, 在
上

所以在
上，函数
为单调递增函数.

∴
在
最大值为
，

，故函数
在
上最大值为
.

综上：当
时，
在
上的最大值为；

当
时,
在
最大值为
.………………………………12分

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.（Ⅰ）连接
,因为
是圆内接四边形，所以

又

∽
,即有

又因为
，可得

因为
是
的平分线，所以
,

从而
；………………………………5分

（Ⅱ）由条件知
，设
，

则
，根据割线定理得
,

即
即
，

解得
或
（舍去），则
………………………10分

23.（Ⅰ）
，

所以
，所以
，即
；

直线
的直角普通方程为：
………………………………5分

（Ⅱ）把直线
的参数方程代入到圆
：
，

得
，
.

因为点
显然在直线
上，

由直线标准参数方程下的几何意义知
=
所以
.………………10分

24、【解】（Ⅰ）当
时，不等式

可化为
，

当
时，不等式即

当
时，不等式即
所以
，

当
时，不等式即
，

综上所述不等式的解集为
………………………………5分

（Ⅱ）令

所以函数
最小值为
，

根据题意可得
，即
，所以的取值范围为
.…… ………………10分